О восстановлении функций из классов Ульянова «методом Смоляка»

Аппроксимативные задачи для функций из периодических классов $F$ с доминирующими смешанными производными тесно связаны с так называемыми «гиперболическими крестами» $\left(\bar{m}_{j} =\max \{|m_{j} |;1\} \right)$
\begin{equation} \Gamma=\Gamma_R \equiv \left\{m=\left(m_{1},\dots,m_{s} \right)\in Z^{s} :\bar{m}_1\dots\bar{m}_s \le R\right\}\, \left(R\ge 1\right), \end{equation}
образующих «Спектр больших коэффициентов Фурье» этих классов $\left(\varepsilon >0\right)$
$$ \Gamma_{\varepsilon} \left(F\right)=\{m\in Z^{s} :\mathop{\sup}\limits_{f\in F} \left|\hat{f}\left(m\right)\right|\ge \varepsilon >0\}, $$
в случае (1) – классов Коробова $E_{s}^{r}$ состоящего из функций $f$ с условием $|\hat{f}\left(m\right)|\le \left(\bar{m}_1 \cdots \bar{m}_s \right)^{-r} \; \left(m=\left(m_1,\dots, m_s \right) \in Z^s, r>1\right)$.
Эти задачи органически примыкают к основной проблеме «Геометрии чисел», где требуется построить решетку с минимальным значением определителя, пересекающуюся с заданным множеством самое большее по нулевому элементу (см. [1]).
В случае «гиперболических крестов» такие задачи тесно связаны с сетками с малыми дискрепансами c порядками убывания $\ll\frac{\ln ^{\beta (s)} N}{N} \,\left(\beta \left(s\right)>0\right)$, которые автоматически приводят к оптимальным коэффициентам, стало быть, к точным в степенной шкале квадратурным формулам с равными весами по сетке Коробова.
Как оказалось, существуют сетки узлов с «большими» дискрепансами $\asymp \frac{1}{\ln N}$, но для которых посредством надлежащего выбора весов квадратурные формулы по ним также для классов функций с доминирующими смешанными производными можно сделать оптимальными в степенной шкале (см. [2]–[7]).
Такого сорта результаты берут начало в работах Смоляка [4], впоследствии известных под общим названием «Метод Смоляка», где существенные продвижения принадлежат В.Н.Темлякову [5], группе математиков, работающих в области под названием «Information Based Complexity» и др.
К классам функций, спектр больших коэффициентов Фурье которых образуют гиперболические кресты, относятся классы Ульянова $U_{s} \left(\beta, \theta, \alpha; \psi \right)$ (см. [3]).
Заменой «тензорных произведений классов» из [4] на «тензорные произведения функционалов» в [6] (см. также [3]) получаем новые операторы, которые на классах Ульянова дают близкие к оптимальным порядки восстановления (частично изложено в [7]).
Так, если в шкале классов Коробова $E_{s}^{r} \, \left(r>1, s=1,2,\dots\right)$ погрешности восстановления функций по сеткам Коробова с малым дискрепансом $\ll N^{-1} \log ^{\beta \left(s\right)} N$ в степенной шкале имеют скорость убывания не быстрее $\asymp N^{-\frac{r-1}{2}},$ то по сеткам Смоляка с плохим дискрепансом $\asymp \ln ^{-1} N$ имеют неулучшаемую скорость $\asymp N^{-\left(r-1\right)},$ что мы относим к необъяснимому для нас феномену [2].
Заметим, что такие же скорости в степенной шкале для всех классов с доминирующей смешанной производной типа $SW$, $SH$ и $SB$ с дальнейшими уточнениями показателей логарифмов в их числителях.