О симметрии экстремали в некоторых одномерных теоремах вложения

Рассмотрим задачу о точной константе в теореме вложения
\begin{equation}\label{N251:problem} \lambda(r,k)=\min\ \frac{\Vert f^{(r)}\Vert_{L_2\left[ -1,1\right] }} {\Vert f^{(k)}\Vert _{L_\infty\left[-1,1\right] }}, \end{equation}
где $r,k\in\mathbb{Z}_+$, $r>k$, минимум берется $f\in{\stackrel{\circ}{W}}\vphantom{W}_2^r(-1,1)$, т.е. по множеству
$$ \big\{f\in{\cal AC}^{r-1}[-1,1]\,\big|\, f^{(r)}\in L_2(-1,1);\quad f^{(j)}(\pm1)=0,\ j=0,1,\dots,r-1.\big\} $$

Эта задача при $k=0,1,2$ и произвольных $r>k$ рассматривалась Г.А.Калябиным в работе [1] (см. также [2]). Кроме точных констант, в [1] была установлена симметрия (чëтность) экстремали при $k=0,2$ и асимметрия при $k=1$.
Мы устанавливаем следующий результат:
Теорема. 1. Если $k$ нечетное, то при всех $r>k$ экстремаль в задаче \eqref{N251:problem} симметрией не обладает.
2. Если $k$ четное, то при всех $r>k$ чeтная функция дает функционалу \eqref{N251:problem} локальный минимум.
При $k=4,6$ получен окончательный результат: доказано, что при всех $r>k$ экстремаль в задаче \eqref{N251:problem} – чeтная функция, и вычислены точные константы.
Доклад основан на совместной статье с А. И. Назаровым [3].
Работа поддержана Лабораторией им. П.Л. Чебышева СПбГУ, грант Правительства РФ дог. 11.G34.31.0026 и грантом СПбГУ 6.38.670.2013.