Весовые соболевские пространства и разрешимость краевых задач для систем соболевского типа

Рассматриваются системы, не разрешенные относительно производной по времени,
$$ A_0D_tu + A_1(D_x)u = f(t,x), $$
где $A_0$ – вырожденная числовая матрица, $A_1(D_x)$ — матричный дифференциальный оператор по $x = (x_1,\dots,x_n)$. В литературе такие системы называют системами соболевского типа, они возникают во многих прикладных задачах. В частности, примерами таких систем являются линеаризованная система Навье–Стокса, система Соболева, система внутренних волн и др.
Исследования задачи Коши и смешанных краевых задач в четверти пространства $R_{++}^{n+1}=\{(t,x): \ t>0, \ x \in R_+^n\}$ для систем соболевского типа показали [1], что зачастую не удается установить разрешимость во всей шкале весовых соболевских пространств $W^l_{p,\gamma}$ с экспоненциальным весом $e^{-\gamma t}$. Как правило, возникают ограничения на показатель суммируемости вида $p>p^*$, где число $p^* >1$ зависит от порядка системы и размерности $n$. В случае, когда $p\le p^*$, для разрешимости краевых задач необходимо требовать, чтобы данные удовлетворяли дополнительным условиям типа условий ортогональности некоторым полиномам (см., например, [1], [2]). Такие ограничения возникают при получении $L_p$-оценок решений, при этом для различных компонент решения ограничения на показатель суммируемости могут быть разными, т.е. $L_p$-оценки решений имеют анизотропный характер не только по гладкости, но и по степени суммируемости. Поэтому при исследовании разрешимости краевых задач для систем соболевского типа нужно учитывать такую анизотропную суммируемость и использовать функциональные пространства, более адаптированные к краевым задачам для таких систем.
В настоящей работе мы будем рассматривать специальную шкалу весовых соболевских пространств $W^l_{p,\gamma,\sigma}$, введенных в [3], с экспоненциальным весом по $t$ и степенными весами по $x$. Мы покажем, как, управляя весовым параметром $\sigma$, т. е. выбирая подходящее функциональное пространство (см., например, [1], [4]–[6]), можно не только ослабить требования на данные, но и в ряде случаев установить безусловную разрешимость во всей шкале пространств $W^l_{p,\gamma,\sigma}$, $1 < p < \infty$.