Аннотация:
Пусть $\{n_j\}$ — строго возрастающая последовательность номеров,
$f$ — функция ограниченной вариации на $[0,1)$ и
$\sum_{n=0}^{\infty}c_nw_n(x)$ — еë ряд Фурье по системе Уолша $\{w_n\}$ в
нумерации Пэли. Получено условие на
последовательность $\{n_j\}$, при котором для всех функций ограниченной вариации ряды
из модулей блоков $\sum_{j=1}^{\infty}|\sum_{n=n_j}^{n_{j+1}-1}c_n
w_n(x)|$
сходятся в $L[0,1)$. Аналогичная задача для рядов по тригонометрической системе
была решена С.А. Теляковским и Р.М. Тригубом.
Всякое неотрицательное целое число $n$ имеет
двоичное разложение вида $n=\sum_{k=0}^{\infty}\varepsilon_k2^k$, где
$\varepsilon_k=0$ или $1$. Вариацией числа $n$ называется
величина $V(n)=\sum_{k=1}^{\infty}|\varepsilon_k-\varepsilon_{k-1}|+\varepsilon_0$.
Пусть $n=2^{l_1}+2^{l_2}+\ldots+2^{l_\nu}+2^{l_{\nu+1}}+\ldots+2^{l_s}, m=2^{m_1}+
2^{m_2}+\ldots+2^{m_{\mu}}+2^{l_{\nu+1}}+\ldots+2^{l_s}$, где показатели
записаны в возрастающем порядке, и $l_\nu\ne m_\mu$. Положим $\tilde{n}
=2^{l_1}+2^{l_2}+\ldots+ 2^{l_{\nu}}$, $\tilde{m} =2^{m_1}+
2^{m_2}+\ldots+2^{m_{\mu}}$, $ V(n,m) = V(\tilde n)+V(\tilde m)$.
Теорема 1.
Пусть ${\{n_{j}\}}_{j=1}^{\infty}$ — строго
возрастающая последовательность натуральных чисел. Для того, чтобы
для каждой функции ограниченной вариации сумма ряда
$$
\sum_{j=1}^{\infty}\biggl|\sum_{n=n_j}^{n_{j+1}-1}c_n w_n(x)\biggr|,
$$
где $c_n$ — коэффициенты Фурье–Уолша этой функции, принадлежала
пространству $L[0,1)$, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
$\sum_{j=1}^{\infty}\frac{V(n_j,n_{j+1})}{n_{j+1}}$.
Пусть $D_n=w_0+\dots+w_n$ — ядро Дирихле по системе Уолша,
$L_n=\int_0^1|D_n(x)|\,dx$ — константа Лебега системы Уолша.
Известна оценка $V(n)/4 \le L_n \le V(n)$. Мы уточняем еë.
Теорема 2.
При любом натуральном $n$ справедливо двойное неравенство
$ \frac{V(n)+1}{3} \le L_n < V(n)$,
множители $\frac13$ и $1$ в котором точны.
Теорема 3.
Для произвольных натуральных $n\ne m$ справедливо двойное неравенство
$\frac{1}{67} V(n,m) < \int_0^1 |D_n (x) - D_m (x)| \, dx < V(n,m)$.
Первый автор поддержан РФФИ, проект 14-01-00332.
Третий автор поддержан РФФИ, проект 14-01-00417.
Обратная связь: