Тонкие свойства функций из пространств Хайлаша–Cоболева $W^p_{\alpha}$, $p>0$

Пусть $(X,d,\mu)$ — метрическое пространство с метрикой $d$ и регулярной борелевской мерой $\mu$ и, причем меры шаров $B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}$ положительны и конечны. Мы предполагаем выполненным условие удвоения с показателем $\gamma>0$, то есть
$$ \mu(B(x,R))\lesssim \left(\dfrac{R}{r}\right)^{\gamma}\mu(B(x,r)),\quad 0<r<R,\quad x\in X $$
(запись $A\lesssim B$ всегда будет означать, что $A\le cB$, где $c$ — некоторые положительные постоянные, зависящие, возможно, от несущественных параметров), $\gamma$ выполняет роль размерности $X$.
Определим классы Хайлаша–Соболева $W^p_{\alpha}$ при $p>0$, $\alpha>0$, как
$$ W^{\alpha}_p (X) = \left\{f \in L^p : D^\alpha(f)\cap L^p(X) \neq \varnothing\right\}, $$

$$ \|f\|_{W^p_{\alpha}} = \left(\|f\|_{L^p}^p + \inf_{g\in D_{\alpha}(f)}\|g\|_{L^p}^p \right)^{1/p}, $$

$$ D_{\alpha}(f) = \{g : |f(x) - f(y)| \le d^{\alpha}(x,y) [g(x) + g(y)], g \textrm{ измерима}\}. $$
Введем $s$–вместимость и размерность Хаусдорфа
$$ H^s_\infty (E) = \inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}r_i^s : E\subset \bigcup_{i=1}^\infty B(x_i,r_i)\right\} $$

$$ \mathrm{dim}_\mathbb{H} (E) = \inf\{s : H^s_\infty (E) = 0\}. $$

Определим емкости, соответствующие классам $W^p_\alpha$
$$ \mathrm{Cap}_{\alpha,p}(E)= \inf\biggl\{\|f\|^{p}_{W_\alpha^p(X)}:f\ge 1\text{ в окрестности }E\subset X\biggr\}, $$
и стандартно введем классы Гельдера: если $E\subset X$, то
$$ H^\beta (E) = \left\{\phi:\sup_{x\neq y, x,y\in E} [d(x,y)]^{-\beta} |\phi (x)-\phi (y)| < +\infty\right\}. $$

Для функции $f\in L^p_{\mathrm{loc}}(X)$, $p>0$ и шара $B\subset X$ положим
\begin{equation}\label{N377:eqA} A_{p}(f,B) = \inf_{I} \biggl(\frac{1}{\mu(B)}\int\limits_B |f(y)-I|^p\,d\mu(y)\biggr)^{1/p}. \end{equation}
Легко видеть, что существует число $I^{(p)}_B f$, для которого достигается точная нижняя грань в \eqref{N377:eqA}.
Теорема 1. Пусть $\alpha > 0$, $0 < p<\gamma/\alpha$ и $f\in W^p_{\alpha}(X)$. Тогда существует такое множество $E\subset X$ такое, что для любого $x\in X\setminus E$ существует предел
$$ \lim_{r\to +0} I^{(p)}_{B(x,r)}f = f^\ast(x) $$
и
$$ \lim_{r\to +0} \frac{1}{\mu(B(x,r))}\int_{B(x,r)} |f-f^\ast(x)|^q\,d\mu = 0, \; \frac{1}{q} = \frac{1}{p} - \frac{\alpha}{\gamma}. $$
При этом справедливы оценки
1) $\mathrm{dim}_\mathbb{H}(E) \le \gamma - \alpha p$ при $\alpha>0$,
2) $\mathrm{Cap}_{\alpha,p}(E)=0$ при $0<\alpha\le 1$.
Теорема 2. При условиях теоремы 1 для $0<\beta<\alpha$ существует такое множество $E\subset X$, что $H^{\gamma - (\alpha-\beta)p}_{\infty}(E) = 0$ (в частности $\mathrm{dim}_\mathbb{H}{E} \le \gamma - (\alpha - \beta)p$) и при $x\in X\setminus E$
$$ \lim_{r\to +0} r^{-\beta}\frac{1}{\mu(B(x,r))}\int_{B(x,r)} |f-f(x)|^q\,d\mu = 0, \quad \frac{1}{q} = \frac{1}{p} - \frac{\alpha}{\gamma}. $$

Теоремы 1 и 2 получены нами при участии М. А. Прохоровича.
Ранее были известны случаи $p>1$ [1] и $p=\alpha=1$ [2] теоремы 1, а результат теоремы 2 известен при $p>1$ [3]. Однако, в этих уже исследованных случаях на месте $I^{(p)}_{B}f$ использовались интегральные средние
$$ f_B=\dfrac{1}{\mu(B)}\int_Bf\,d\mu. $$
В случае $p\ge\dfrac{\gamma}{\gamma+\alpha}$ (тогда $q\ge 1$) в теоремах 1 и 2 можно заменить $I^{(p)}_{B(x,r)}f$ на средние $f_B$.
Теорема 3. Пусть $0<\beta\le \alpha \le 1$, $0<p<\gamma/\alpha$, $f\in W^p_\alpha(X)$. Тогда для любого $\varepsilon > 0$ существуют функция $f_\varepsilon$ и открытое множество $O\subset X$ такие, что
1) $\mathrm{Cap}_{\alpha - \beta,p} (O) < \varepsilon$, $H_\infty^{\gamma-(\alpha-\beta)p} (O) < \varepsilon$,
2) $f = f_\varepsilon$ на $X\setminus O$,
3) $f_\varepsilon \in W^p_\alpha(X)$ и $f_\varepsilon \in H^\beta(B)$ для любого шара $B\subset X$,
4) $\|f-f_\varepsilon\|_{W^p_\alpha} < \varepsilon$.
При $p>1$ и $p=\alpha=1$ это утверждение было известно ранее, см. [4] и ссылки в этой работе, а также [2].
Доказательства теорем 1–3 основаны на методах работы [5].
Во время подготовки публикации появилась работа [6], в которой другими методами получена наша теорема 3 (без утверждения о емкостях $\mathrm{Cap}_{\alpha,p}$), а также ее аналог для более широких шкал классов Бесова и Трибеля–Лизоркина.