Оценка снизу спектра оператора Штурма–Лиувилля в $L^2(\mathbb{R}_+)$ с граничным условием $y'(0)=0$

Исследуется нижняя граница спектра оператора $\mathbf{L}_q$ в пространстве $L^2(\mathbb{R}_+)$, задаваемого дифференциальным выражением $-y''+q(x)y$ и граничным условием $y'(0)=0$. Предполагается, что $q\in L_{loc}(\mathbb{R}_+)$, $\lim_{x\to +\infty} q(x)=0$. В этом случае спектр оператора $\mathbf{L}_q$ (обозначим его через $\sigma_{q}$) состоит из непрерывной части и дискретной. Луч $(0;+\infty)$ является непрерывным спектром, а на луче $(-\infty;0)$ расположена дискретная часть, которая либо пуста, либо является конечным множеством отрицательных чисел (собственных значений) ([1], гл. 5, стр. 129).
Пусть $q_{-}(x)=-\min \{0,q(x)\}$. При $V>0$ определим множество $Q_{V}$, состоящее из всех потенциалов $q$, для которых выполнено неравенство
\begin{equation*} \inf_{x\in \mathbb{R}_+}\int_{x}^{+\infty} e^{-\mu t} (\mu^2-q_{-}(t))\, dt \ge 0, \end{equation*}
Основной результат работы:
Теорема 1. При любом $V>0$ справедливо равенство
\begin{equation*} \inf \{\sigma_{q}:q\in Q_{V}\}=-V^2. \end{equation*}

Используя теорему 1 получаем:
Теорема 2. При любом $V>0$ и дополнительном условии $q_{-}\in L(\mathbb{R}_+)$ справедливо равенства
\begin{equation*} \inf \{\sigma_{q}:\|q_{-}\|_{L(\mathbb{R}_+)}\le V\}=-V^2. \end{equation*}

Из теоремы 2 можно сделать вывод, что собственные значения оператора $\mathbf{L}_q$ оцениваются снизу величиной
\begin{equation*} -\left(\int_{0}^{+\infty}q_{-}(x)\, dx\right)^2, \end{equation*}
причëм данная оценка неулучшаема.
В. А. Марченко [2] доказал (это потребовалось ему в качестве вспомогательного утверждения), что в предположении $q\in L(\mathbb{R}_+)$ величина
\begin{equation*} \inf \{\sigma_{q}:\|q\|_{L(\mathbb{R}_+)}\le V\} \end{equation*}
не меньше $-2V^2$. В работе показано, что на самом деле справедливо равенство $\inf \{\sigma_{q}:\|q\|_{L(\mathbb{R}_+)}\le V\}=-V^2$.
Для операторов Штурма–Лиувилля в $L^2(0,1)$ с граничными условиями на концах отрезка $[0,1]$ задачи аналогичные задаче (2) активно изучались в работах многих математиков. Большой список литературы по этому вопросу имеется в [3] и [4].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00022).