Метрические свойства гармонической меры на жордановых кривых

Пусть $\Omega$ – односвязная область на плоскости, ограниченная жордановой кривой $\partial\Omega$. Пусть $E$ – произвольное борелевское множество на этой кривой. Через $\omega_z(E)$ обозначим гармоническую меру множества $E$ относительно точки $z \in \Omega$. Зафиксируем точку $z_0 \in \Omega$ и будем рассматривать функцию $\omega(E)=\omega_{z_0}(E)$ как функцию на борелевских множествах кривой $\partial\Omega$. Полученная таким образом мера $\omega$ не зависит от выбора точки $z_0 \in \Omega$.
Из классической теоремы Рисса–Привалова следует, что если $\partial\Omega$ является спрямляемой кривой, то $\omega$ абсолютно непрерывна относительно линейной меры Лебега на этой кривой. М. А. Лаврентьевым построен пример такой жордановой кривой $\partial\Omega$, что $\omega$ не является абсолютно непрерывной мерой относительно линейной меры Лебега на этой кривой.
В 1972 году Л. Карлесон показал, что существует положительное число $\alpha > 0$ такое, что $\omega$ абсолютно непрерывна относительно $\Lambda_{1/2+\alpha}$, где $\Lambda_{1/2+\alpha}$ – $\varphi$-мера Хаусдорфа с функцией $\varphi(t)=t^{1/2+\alpha}$.
В 1985 году Н. Г. Макаров существенно усилил этот результат показав, что существует постоянная $C>0$ такая, что $\omega$ абсолютно непрерывна относительно $\Lambda_\varphi$, где
$$ \varphi(t)=t\exp\left(C\sqrt{\log\frac{1}{t}\log\log\log\frac{1}{t}}\right). $$

С. Роде и Х. Поммеренке (1991) показали, что в качестве $C$ можно взять число $30$. Автором эта константа была понижена до $6 \sqrt{3}$.
Пусть $C_M$ – минимальная константа для которой гармоническая мера абсолютно непрерывна относительно $\Lambda_\varphi$. Совместно со шведским математиком Х. Хеденмальмом удалось получить оценки
$$ 0.91 \le C_{\mathrm M} \le2\sqrt{\frac{\sqrt{24}-3}{5}}=1.2326\dotsc. $$
Оценка снизу получена путем построения конформных снежинок с большой фрактальной размерностью границы.
Кроме того, в докладе предполагается обсудить и указать связь наших оценок $C_M$ c недавними результатами К. Макмюллена [1], связанных с динамикой размерности жордановых кривых фрактального типа.