О нижней оценке для минимального собственного значения одной задачи Штурма–Лиувилля

Рассматривается задача Штурма–Лиувилля
\begin{gather*} y''- qy+\lambda y=0,\\ y'(0)-k_0^2y(0)= y'(1)+k_1^2y(1)=0, \end{gather*}
где $k_0,k_1 \in \mathbb{R}$, а функция $q$ принадлежит множеству
$$ A_\gamma = \{q\in L_1[0,1] : q(x)\geqslant 0, \ \int_0^1 q^\gamma\,dx=1\} $$
при $\gamma\in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
Пусть $m_{\gamma}=\inf\limits_{q\in A_{\gamma}}\lambda_{1}(q)$.
1. Доказана достижимость $m_{\gamma}$ при некоторых значениях параметра $\gamma$:
Теорема. Если $\gamma\in [1/2,1)$, то существует функция $q_*\in A_{\gamma}$, удовлетворяющая равенству $\lambda_1(q_*)= m_{\gamma}$.
2. Уточнено значение $m_{\gamma}$ для задачи Неймана при некоторых значениях параметра $\gamma$:
Теорема. Пусть $k_0 = k_1 = 0$. При $\gamma\leqslant 1-2/\pi^2$ выполняется равенство $m_\gamma=1$, а при $1-2/\pi^2<\gamma<1$ выполняется неравенство $m_\gamma<1$.
Аналогичные результаты для некоторых других значений $\gamma$ получены в работах [4]–[5]. Подобные задачи рассматривались также в работах [1]–[3].
Доклад основан на совместной работе с А. А. Владимировым.
Работа автора поддержана РНФ, проект № 14-11-00754.