Внешняя вариационная задача Дирихле для вырождающегося эллиптического оператора с суммируемыми коэффициентами

Пусть $\Omega$ – ограниченная область в $n$-мерном евклидовом пространстве $R^n$ с $(n-1)$-мерной гладкой границей $\partial\Omega$ и пусть $\Omega^*=R^n\setminus\overline{\Omega}$. Символом $K_R$ обозначим открытый шар достаточно большого радиуса $R$ с центром в начале координат такой, что $ \overline{\Omega}\subset K_R$. Пусть $\rho(x)$ – регуляризованное расстояние от $x\in\Omega^*$ до $\partial\Omega$ и $\alpha$, $\beta$ – вещественные числа. Символом $\sigma(x)$ обозначим бесконечно дифференцируемую положительную в $\Omega^*$ функцию, которая ведет себя как $\rho^{\alpha}(x)$ вблизи $\partial\Omega$ и как $\rho^{\beta}(x)$ в $R^n\setminus K_R$. Пусть $r$ – натуральное число, $1\leq p<+\infty$ и $ \varphi$ – непрерывная в $\Omega^*$ положительная функция. Введем весовое пространство $W_{p;\alpha,\beta;\varphi}^r(\Omega^*)$ всех измеримых в $\Omega^*$ комплекснозначных функций $u(x)$ с конечной нормой
$$ \|u;W_{p;\alpha,\beta;\varphi}^r(\Omega^*)\|= \left\{\sum_{|k| =r}\int_{\Omega^*}\sigma^p(x)|u^{(k)}(x)|^pdx+ \int_{\Omega^*}\varphi^p(x)|u(x)|^pdx\right\}^{1/p}, $$
где $u^{(k)}(x)$ – обобщенная по С.Л.Соболеву производная функции $u(x)$ мультииндекса $k$. Обозначим через $\stackrel{\circ}{W}\,_{p;\alpha,\beta; \varphi}^r(\Omega^*)$ пополнение класса $C_0^{\infty}(\Omega^*)$ в норме пространства $W_{p;\alpha,\beta;\varphi}^r(\Omega^*)$, а через $\bigl(\stackrel{\circ}{W}\,_{p;\alpha,\beta;\varphi}^r(\Omega^*)\bigr)'$ – пространство антилинейных непрерывных функционалов, определенных на $\stackrel{\circ}{W}\,_{p;\alpha,\beta;\varphi}^r(\Omega^*)$, наделенное нормой сопряженного пространства.
Рассмотрим полуторалинейную форму
$$ B[u,v]=\sum_{|k|,\,|l|\leq r}\int_{\Omega^*}a_{kl}(x)u^{(k)}(x)\overline{v^{(l)}(x)}\,dx $$
с комплекснозначными коэффициентами $a_{kl}(x)$.
В докладе обсуждается вопрос о разрешимости следующей задачи Дирихле:
Задача $D_\lambda$. Для заданного функционала $F\in \bigl(\stackrel{\circ}{W}\,_{2;\alpha,\beta;\varphi}^r(\Omega^*)\bigr)'$ требуется найти решение $U(x)$ уравнения
$$ B[U,v] + \lambda \int_{\Omega^*} \varphi^2(x)U(x)\overline{v(x)}\,dx=\langle F,\,v\rangle\qquad \left(\forall\,v\in C_0^{\infty} (\Omega^*)\right), $$
принадлежащее пространству $\stackrel{\circ}{W}\,_{2;\alpha,\beta;\varphi} ^r(\Omega^*)$.
Доказана однозначная разрешимость задачи $D_{\lambda}$ для некоторых значений параметра $\lambda$, когда старшие коэффициенты $a_{kl}$, $|k| =|l|=r,$ удовлетворяют условию эллиптичности
$$ \mathrm{Re}\sum_{|k|=|l|=r}a_{kl}(x)\xi^k\xi^l\geq c_0\sigma(x)\xi^{2r}\quad \left(x\in\Omega^*,\,\xi\in R^n \right)\tag{1} $$
и младшие коэффициенты $a_{kl}$, $|k|+|l|\leq 2r-1,$ принадлежат некоторым весовым $L_{p_{kl}}$-пространствам.
Разрешимость задачи $D_{\lambda}$ ранее исследовалась в работах [1], [2] в предположении, что коэффициенты $a_{kl}$, $|k|, |l|\leq r$, имеют форму произведения ограниченной функции и некоторой степени функции $\rho(x)$ и такие, что
$$ \mathrm{Re}\sum_{|k|,|l|\leq r} a_{kl}(x)\zeta_k\overline{\zeta_l}\geq c_0\sigma(x)\sum_{|k|=r}|\zeta_k|^{2}\tag{2} $$
для всех $x\in \Omega$ и любого набора комплексных чисел $\zeta =\left \{\zeta_k\right\}_{|k|\leq r}$. Условие (1) слабее условии (2).