Приближенное дифференцирование функций по информации, полученной со всех линейных функционалов в контексте Компьютерного (вычислительного) поперечника (К(В)П)

Отправным результатом К(В)П-исследования (здесь придерживаемся определений и обозначений из [1]–[2]) задачи приближенного дифференцирования является следующая оценка снизу, полученная для всех возможных вычислительных агрегатов, построенных по произвольной линейной информации (все естественные условия корректности считаются наложенными):
$$ \inf _{\substack{ l_{1} ,...,l_{N} -\text{все возможные} \\ \text{линейные функционалы;} \varphi _{N} } } \ \sup _{ f\in W_{p}^{r} (0,1)^{s} } \left\| f^{\left(\alpha _{1} ,...,\alpha _{s} \right)} \left(\cdot \right)-\varphi _{N} \left(l_{1} \left(f\right),...,l_{N} \left(f\right);\cdot \right)\right\| \, _{L^{q} (0,1)^{s}} $$

$$\ll\left\{
\begin{array}{l} {N^{-\frac{r}{s} +\frac{\alpha _{_{1} } +...+\alpha _{s} }{s} +\left(\frac{1}{p} -\frac{1}{q} \right)} ,\, \, \, \, \text{если}\, \, \, \, 2\le p\le q\le \infty } \\ {N^{-\frac{r}{s} +\frac{\alpha _{1} +...+\alpha _{s} }{s} +\frac{1}{2} -\frac{1}{q} } ,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{если}\, \, \, \, 1\le p<2\le q\le +\infty } \\ {N^{-\frac{r}{s} +\frac{\alpha _{1} +...+\alpha _{s} }{s} ,\, \, } \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{если}\, \, \, 1\le p\le q<2} \end{array}
\right. .$$

Каждый вычислительный агрегат, подтверждающий оценку снизу по всем вычислительным агрегатам, построенным по произвольной линейной информации, сразу же попадает в разряд неулучшаемых по порядку (разумеется при своих заданных условиях). Установлено, что к таковым в случае $2\le p\le q\le \infty $ относятся $\left(\alpha _{1} ,...,\alpha _{s} \right)$ – производные частичных сумм по кубам тригонометрического ряда Фурье (что есть решение задачи К(В)П-1). Далее показано, что с сохранением порядка $\succ \prec N^{-\frac{r}{s} +\frac{\alpha _{_{1} } +...+\alpha _{s} }{s} +\left(\frac{1}{p} -\frac{1}{q} \right)}$ восстановления по точной информации, при восстановлении по неточной информации произвольными вычислительными агрегатами $\varphi _{N} (z_{1} ,...,z_{N} ;x)$ функционалы $l_{1} ,...,l_{N}$ можно вычислять с погрешностью
$$ \left|l_{\tau } \left(f\right)-z_{\tau } \right|\le \tilde{\varepsilon }_{N} \equiv N^{-\frac{r}{s} -\left(1-\frac{1}{p} \right)}\qquad \left(\tau =1,...,N\right), $$
причем эта погрешность является предельной (что есть решение задачи К(В)П-2). Наконец, и это составляет содержание задачи К(В)П-3, установлено, что во всех вычислительных агрегатах вида $\varphi _{N} (\hat{f}\left(m^{\left(1\right)} \right),...,\hat{f}\left(m^{\left(N\right)} \right);x)$ построенных по неточной информации об $\hat{f}\left(m^{\left(\tau \right)} \right)$, величину ошибки $\tilde{\varepsilon }_{N} $ в К(В)П-2, вообще говоря, нельзя заменить на $\eta _{N} \tilde{\varepsilon }_{N}$ при любом неограниченно возрастающем $\eta _{N}$.
С вычислительных позиций можно отметить продолжение исследований: строятся конкретные вычислительные агрегаты, пусть и не подтверждающие оценки снизу, но покрывающие эти потери за счет выигрыша в вычислениях. Подлежащим к таким заменам можно отнести частичные суммы тригонометрических рядов Фурье со спектром из «больших» коэффициентов класса или индивидуальной функции, свидетельствующие о высоких аппроксимативных возможностях гармонического анализа, но с низким вычислительным потенциалом,-хорошее в теории может быть не совсем удовлетворительным на практике.