О нормах производных функций с нулевыми значениями заданного набора линейных функционалов и их применения к поперечниковым задачам

В ряде вопросов теории приближений полезной оказывается следующая (случай $p=2$ см. в [1])
Лемма. Пусть даны целые положительные числа $s$ и $N=n^s$ $\left(n=5,6,\dots\right)$, функция $\omega (t)$ из $C^{\infty}$ $\left(-\infty ,+\infty\right)$ такая, что supp$\omega =\left[0,1\right]$, $0\le\omega\left(t\right)\le 1=\max_{0\le t\le 1} \omega(t)$. Определим на $\left[0,1\right]^{s}$ ортогональную систему (с $1$-периодическим продолжением по каждой переменной)
$$ \psi_k\left(x\right)=\prod_{j=1}^{s}\omega \left(4n\left(x_j-\frac{k_j}{4n}\right)\right), \left(k\in A_N\equiv \left\{k=\left(k_1,\dots,k_s\right)\in Z^s,0\le k_j\le 4n-1\; \left(j=1,\dots,s\right)\right\}\right). $$
Тогда для всякого набора линейных функционалов $l_1,\dots,l_N$, определенных, по крайней мере, на множестве всех многочленов по системе $\psi_k$, существует конечная последовательность $\left\{b_k:\, k\in A_N\right\}$ такая, что для функции $B_N\left(x\right)\equiv B_N\left(x;l_1,\dots,l_N\right)=\sum_{k\in A_N} b_k\psi_k\left(x\right)$ выполнены равенства $l_1\left(B_N\right)=\dots=l_N\left(B_N\right)=0$ и для всякого набора целых неотрицательных чисел $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ и всякого $1\le p\le \infty $ имеют место соотношения
\begin{gather*} \|B_N^{(\lambda_1,\dots,\lambda_s)}\| _{L^p(0,1)^s}\succ\prec N^{\frac{\lambda_1+\dots+\lambda_s}{s}-\frac{1}{p}} \biggl(\sum_{k\in A_N}|b_k|^p\biggr)^{\frac{1}{p}} \ \text{при} \ 1\leq p<\infty, \\ \|B_N^{(\lambda_1,\dots,\lambda_s)}\|_{L^p(0,1)^s}\succ\prec N^{\frac{\lambda_1+\dots+\lambda_s}{s}+1}, \quad p=\infty. \end{gather*}

В качестве следствия при $1\le p\le q\le\infty$ и $s=1,2,\dots$ получаем известные оценки снизу для поперечников «кодирования» функций из соболевских классов $W_p^r(0,1)^s$ (условия на задействованные параметры считаются такими, что все показатели при $N$ отрицательны):
\begin{gather*} \lambda^N(W_p^r(0,1)^s)_{L^q(0,1)^s}\equiv \inf_{\substack{l_1, \dots, l_N\text{ - всевозможные} \\ \text{линейные функционалы}}} \sup_{\substack{f\in W_p^r(0,1)^s \\ l_{\tau}(f)=0, \\ (\tau =1,\dots,N) }}\|f\|_{L^q(0,1)^s} \\ \ll\begin{cases} N^{-\frac{r}{s} +\left(\frac{1}{p} -\frac{1}{q}\right)},&\text{если}\ 2\le p\le q\le \infty,\\ N^{-\frac{r}{s} +\frac{1}{2} -\frac{1}{q}},&\text{если}\ 1\le p<2\le q\le +\infty,\\ N^{-\frac{r}{s}},&\text{если}\ 1\le p\le q< 2. \end{cases} \end{gather*}

Еще одним следствием является другое доказательство порядковых соотношений для поперечников по Колмогорову функциональных классов, в которых основной метод решения заключается в редуцировании к конечномерным задачам о поперечниках обобщенных конечномерных октаэдров (порядковые соотношения для поперечников по Колмогорову при различных соотношениях параметров получены в работах В. М. Тихомирова, Р. С. Исмагилова, Б. С. Кашина, Ю. И. Маковоза, М. Ш. Бирмана, М. З. Соломяка, В. Н. Темлякова, Э. М. Галеева, Е. Д. Куланина и др.). Здесь же, применением принципа двойственности для поперечников по Колмогорову $d_N(\tilde{W}_p^r(0,1)^s)_{L^q(0,1)^s}$ и «кодирования» функций $\lambda^N(\tilde{W}_{q'}^r(0,1)^s)_{L^{p'} (0,1)^s}$ (благодарим Э. М. Галеева за указание на нее для периодических классов Соболева $\tilde{W}_p^r(0,1)^s$ функций с нулевым средним) и из теоремы 1 в [1] в случае $1< p\leq q\leq 2$ приходим к соотношениям (см. также [2]–[3])
$$ 2\lambda^N(\tilde{W}_{q'}^r(0,1)^s)_{L^{p'}(0,1)^s}=d_N(\tilde{W}_p^r(0,1)^s)_{L^q(0,1)^s} \succ \prec N^{-\frac{r}{s} +\left(\frac{1}{p} -\frac{1}{q}\right)} \, \left(\frac{1}{\theta} +\frac{1}{\theta '} =1\right). $$