Критерии вложения анизотропных классов Соболева–Морри

Классическая теорема С.Л. Соболева [1] утверждает, что при ${rp\neq s}$ для вложения класса Соболева $W_{p}^{r} \left(0,1\right)^{s}$в пространство равномерно непрерывных на $\left(0,1\right)^{s}$ функций $C\left(0,1\right)^{s}$ необходимо и достаточно выполнение неравенства $rp>s$.
С позиций теории вложений функциональных пространств и их приложений интересен вопрос о переходе к более узким классам $r$ раз дифференцируемых функций с производными из лебегова пространства $L^{p} \left(0,1\right)^{s} $, для которых выполнено вложение в $C\left(0,1\right)^{s} $ при $rp<s$.
В определениях и обозначениях из [1]–[2] справедлива
Теорема. Пусть даны целые положительные числа $s$, $r_{1},\dots, r_{s}$, положительные числа $\aleph_j$ $(j=1,\dots,s)$, действительное число $1\le p<\infty$ и неубывающая на $\left(0,1\right]$ положительная функция $\Phi \left(\delta\right)$, удовлетворяющая условию $\Phi\left(2\delta \right)\ll\Phi\left(\delta\right)$. Тогда для того чтобы имело место вложение
$$ W_{p;\Phi;\aleph _{1},\ldots,\aleph _{s} }^{r_{1} ,\dots,r_{s} } \left(0,1\right)^{s} \subset C\left(0,1\right)^{s}$$
достаточно, а в случае выполнения условий ${\frac{1}{p} \sum _{j=1}^{s}\frac{1}{r_{j} } \ne 1,}$ ${r_{\tau } \aleph _{\tau } =1}\; \left(\tau =1,\dots,s\right)$ и $\eta \omega \left(\delta \right)\le C\delta \omega \left(\eta \right)\, \left(0<\eta <\delta <1\right)$ необходимо, чтобы
$$ \int _{0}^{1} \delta^{\left(1-\frac{1}{p}\sum_{j=1}^{s} \frac{1}{r_{j} }\right)\frac{\max_{\tau =1,\dots,s}r_{\tau}\aleph _{\tau}}{\aleph_{1} +\ldots+\aleph_{s}}} \Phi(\delta)\frac{d\delta }{\delta}<+\infty. $$

При $r_{1} =\dots=r_{s} =r$, $\aleph _{1} =\dots=\aleph _{s} $ эта теорема сводится к теореме из [2]:
$$ W_{p;\Phi ;1,\ldots,1}^{r} \left(0,1\right)^{s} \subset C\left(0,1\right)^{s} \, \Leftrightarrow \, \int _{0}^{1}\delta ^{\frac{r}{s} -\frac{1}{p} } \cdot \Phi (\delta ) \frac{d\delta }{\delta } <+\infty. $$

Достаточное условие для вложения
\begin{equation} W_{p; \Phi; \aleph _{1}\ldots\aleph _{s} }^{r_{1},\ldots, r_{s} } (0,1)^{s} \subset D^{\left(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{s} \right)} L^{q} (0,1)^{s} \end{equation}
при $1\le p<q<\infty $ состоит в сходимости интеграла
\begin{equation} \int _{0}^{1}\vartheta ^{-\sum _{j=1}^{s}\frac{\alpha _{j} }{r_{j}} -\left(\frac{1}{p} -\frac{1}{q} \right)\sum _{j=1}^{s}\frac{1}{r_{j} }} \Phi ^{1-\frac{p}{q} } \left(\vartheta^{^{\frac{\aleph _{1} +\ldots+\aleph _{s} }{\mathop{\max }\limits_{\tau =1,\ldots,s} r_{\tau } \aleph _{\tau}}}} \right)d\vartheta <+\infty. \end{equation}

Не исключено, что условие (2) и необходимо для вложения (1), во всяком случае в ряде случаев это действительно так.
Теперь обратимся к случаю $rp=s$, впервые изученному в [3], краткий обзор последующих результатов дан в [1, с. 133–134].
Теорема. Пусть $\frac{1}{p} \sum _{j=1}^{s}\frac{1}{r_j} =1$. В случае $\Phi \left(\delta \right)=\log^{-\beta } \frac{1}{\delta}$   $\left(0<\delta <1;\, \beta >0\right)$ вложение
\begin{equation*} \label{N291:EQ3} W_{p=\sum _{j=1}^{s}\frac{1}{r_j},\Phi,\aleph _{1},\ldots,\aleph_{s} }^{r_{1},\dots,r_{s} } \left(0,1\right)^{s} \subset \left(0,1\right)^{s}, \end{equation*}
имеет место при $\beta >1$ и при всех $\aleph _{j} >0\, \left(j=1,\ldots,s\right)$ и не имеет места при $\beta \le 1-\frac{1}{p} \, \left(p>1\right), \aleph _{j} =\frac{1}{r_j} \left(j=1,\dots,s\right)$.
Замечание. Теорему 2 можно рассматривать как распространение теоремы 10.4 из [1, с. 129–130] на случай $\sum _{j=1}^{s}\frac{1}{r_{j} } =p,\, 1\le p\le +\infty$. Здесь случай $1-\frac{1}{p} <\beta \le 1$ остается открытым. Не исключено, что вложение (3) имеет место во всех этих случаях.
В заключение отметим, что полученные здесь результаты частично анонсированы в [4].