О некоторых интегральных неравенствах и соответствующих краевых задачах

Рассматриваются краевые задачи для систем уравнений Пуассона и Стокса в областях трëхмерного пространства:

$$ \left\{
\begin{array}{l} -\Delta u(x) =h(x), \; x \in G, \\ (u,n)_{\Gamma}=0, \\ \left[\frac{\partial u}{\partial n},n\right]_{\Gamma}=0;\\ \end{array}
\right. $$


$$ \left\{
\begin{array}{l} -\Delta u(x) =h(x), \; x \in G, \\ \left[u,n\right]_{\Gamma}=0, \\ \left(\frac{\partial u}{\partial n},n\right)_{\Gamma}=0\\ \end{array}
\right. $$

и

$$ \left\{
\begin{array}{l} -\Delta u(x) + \nabla p(x)=h(x), \; x \in G, \\ (u,n)_{\Gamma}=0, \\ \left[\frac{\partial u}{\partial n}-p(x)n,n\right]_{\Gamma}=0;\\ \end{array}
\right. $$


$$ \left\{
\begin{array}{l} -\Delta u(x) + \nabla p(x)=h(x), \; x \in G, \\ \left[u,n\right]_{\Gamma}=0, \\ \left(\frac{\partial u}{\partial n}-p(x)n,n\right)_{\Gamma}=0\\ \end{array}
\right. $$

Рассмотрена также краевая задача с условием непротекания для системы уравнений Навье–Стокса.
Основной результат – корректность поставленных задач в смысле Адамара–Петровского.
Ключевыми моментами доказательства являются аналоги неравенства Фридрихса, адекватные краевым условиям, аналог теоремы Де Рама и разложение пространств Соболева в сумму соленоидальных и потенциальных подпространств.
Предполагается обсудить вычислительные аспекты решения указанных задач и физический смысл краевых условий.
Результаты работы получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России (проект № 1553).