О регуляризации решения задачи Коши для уравнения Гельмгольца

Пусть $R=(-\infty,\infty)$ – действительная ось, $D=\{-\infty<x<\infty,\,0\leq y \leq y_0\, (y \geq 0)\}$ – полоса или полуплоскость. $C(D)$ – пространство непрерывных функций $u(x,y)$: $(x,y)\in D$ с нормой
$$ \|{u(x,y)}\|= \sup_{D}|u(x,y)|. $$
Требуется найти функцию $u(x,y)$, непрерывную при $x{\in}R$ и $y>0$ из класса $C^2(D)$, удовлетворяющую уравнению
$$ \Delta{u}+\lambda^2u=0,\qquad \lambda=const \tag{1} $$
и начальному условию
$$ u(x,0)=\varphi(x),\qquad \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\Bigl|_{y=0}=\psi(x), \tag{2} $$
где $\Delta$ – оператор Лапласа, а $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ – заданные функции.
Известно, что при произвольных $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ задача (1)–(2) неразрешима. Если $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ – аналитические функции и аналитически продолжимы, то, согласно фундаментальной теореме теории уравнений в частных производных, продолжение осуществимо и единственно. Одноко можно построить пример, подобный примеру Адамара для уравнения Лапласа (см. [1]), который показывает, что полученное продолжение будет неустойчивым к малым изменениям исходных данных. Поэтому задача (1)–(2) относится к числу некорректно поставленных задач.
Пусть в (2) $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ удовлетворяют условиям:
1) $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ - бесконечно дифференцируемые функции;
2) производные $\varphi^{(k)}(x)$ и $\psi^{(k)}(x)$ $(k=1,2,\cdots)$ стремятся к нулю при $|x|\to\infty$ быстрее любой отрицательной степени $|x|$.
Решение $u(x,y)$ будем искать в классе функций, для которых:
а) функции $u(x,y)$, $\frac{\partial{u}}{\partial{x}}$, $\frac{\partial^2u}{\partial{x^2}}$ абсолютно интегрируемы на всей оси $x$ при любом фиксированном $y\geq{0}$;
б) функции $\frac{\partial{u}}{\partial{y}}$, $\frac{\partial^2u}{\partial{y^2}}$ имеют в каждом конечном интервале $0\leq{y}\leq{y_0}$ интегрируемую мажоранту $n(x)$.
Выполним в задаче (1)–(2) преобразование Фурье по $x$. В силу условий а)–б) и свойств преобразования Фурье в $S(R)$ – пространстве Шварца, получаем:
$$ \frac{d^2v(s,y)}{d{y^2}}-(s^2-\lambda^2)v(s,y)=0. \tag{3} $$
По предположению, $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ удовлетворяют условиям 1)–2). Учитывая свойства преобразования Фурье в $S(R)$, из (2) имеем:
$$ v(s,0)=\Phi(s),\qquad \frac{dv(s,y)}{dy}\Bigl|_{y=0}=\Psi(s), \tag{4} $$
где $\Phi(s)$ и $\Psi(s)$ – преобразования Фурье функций $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ соответственно. Согласно известной теореме (см. с. 153 в [1]), функции $\Phi(s)$ и $\Psi(s)$ также являются бесконечно дифференцируемыми и каждая из их производных стремится к нулю при $|s|\rightarrow\infty$ быстрее любой отрицательной степени $|s|$.
Таким образом, преобразование Фурье задачи (1)–(2) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению (3) с условиями (4). Решение задачи (3)–(4) имеет вид
$$ v(s,y)=\Phi(s)cosh(y\sqrt{s^2-\lambda^2})+\Psi(s)\frac{sinh(y\sqrt{s^2-\lambda^2})}{\sqrt{s^2-\lambda^2}}. $$
При каждом фиксированном $y$ это есть функция из пространства $S(R)$ (см. гл. IV в [1], с. 29 в [2]), следовательно, принадлежит классам $L_1(R)$ и $L_2(R)$. Действительно, так как, по предположению, $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ удовлетворяют условиям 1)–2), то они принадлежат пространству $S(R)$ (функций от $x$). Известно также (см. с. 4 в [3]), что всякая функция $m(x)$ ($x{\in}R$) из $S(R)$ принадлежит классам $L_1(R)$ и $L_2(R)$. Тогда на основе свойств преобразования Фурье (см. с. 153–156 в [1]) функции $\Phi(s)$ и $\Psi(s)$ принадлежат пространству $S(R)$ (функций от $s$), то есть классам $L_1(R)$ и $L_2(R)$. Следовательно, $v(s,y)$ принадлежит пространству $S(R)$ (функций от $s$), и значит, классам $L_1(R)$ и $L_2(R)$ для любого фиксированного $y>0$. Обратное преобразование Фурье от $v(s,y)$ есть обычная функция, выражаемая в виде
$$ u(x,y)=\int_{-\infty}^{\infty}\Bigl(\Phi(s)\cosh(y\sqrt{s^2-\lambda^2})+\Psi(s)\frac{\sinh(y\sqrt{s^2-\lambda^2})}{\sqrt{s^2-\lambda^2}}\Bigl)\exp(ixs)dx. \tag{5} $$
Следовательно, функция $u(x,y)$ вида (5) при всяком фиксированном $y>0$ есть функция класса $S(R)$ и является решением задачи (1)–(2), поскольку (см. с. 153–156 в [1]) операторы Фурье $F$ и $F^{-1}$ взаимооднозначно отображают пространство $S(R)$ на себя. Таким образом, мы получили, что если в (2) $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ удовлетворяют условиям 1)–2), то решение задачи (1)–(2) существует и выражается в виде (5). Пусть, далее, вместо $\varphi(x )$ и $\psi(x)$ заданы их приближенния $\tilde{\varphi}(x)$ и $\tilde{\psi}(x)$ из $L_2(R)$ такие, что
$$ \|\tilde{\varphi}(x)-\varphi(x)\|_{L_2(R)}{\leq}\delta,\qquad \|\tilde{\psi}(x)-\psi(x)\|_{L_2(R)}{\leq}\delta. \tag{6} $$
Тогда вместо нахождения $u(x,y)$ можно ставить лишь задачу о нахождении приближенного решения, то есть приближения к $u(x,y)$ с точными исходными данными $\varphi(x)$ и $\psi(x)$. Следуя [5], покажем, что в качестве искомых приближений в этих случаях можно брать значения однопараметрического семейства операторов
$$ R_r(\tilde{\varphi},\tilde{\psi},x,y,\alpha)=\int_{-\infty}^{\infty}r(s,\alpha)\Bigl(\Phi(s)\cosh(y\sqrt{s^2-\lambda^2})+\Psi(s)\frac{\sinh(y\sqrt{s^2-\lambda^2})}{\sqrt{s^2-\lambda^2}}\Bigl)\exp(ixs)\,dx. \tag{7} $$
с стабилизирующими множительями $r(s,\alpha)$, удовлетворяющими следующим условиям:
1) $r(s,\alpha)$ определена в области $\{\alpha\geq{0},\,-\infty<s<\infty\}$;
2) $0\leq{r(s,\alpha)}\leq{1}$ для всех значений $\alpha\geq{0}$ и $s\in{R}$;
3) $r(s,0)=1$;
4) $\forall\alpha>0$, $r(s,\alpha)$ четная по $s$ и $r(s,\alpha){\in}L_2(R)$;
5) $\forall\alpha>0$, $r(s,\alpha)\rightarrow{0}$ при $|s|\rightarrow{\infty}$;
6) при $\alpha\rightarrow{0}$  $r(s,\alpha)\rightarrow{0}$, не убывая, причем на всяком отрезке $|s|{\leq}s_1$, эта сходимость равномерная;
7) $\forall{s\neq}0$  $r(s,\alpha)\rightarrow{0}$ при $\alpha\rightarrow{\infty}$, и эта сходимость равномерная на каждом отрезке $[s_1,s_2]$.
Этим условиям отвечает, например, стабилизирующий множитель вида
$$ r(s,\alpha)=exp(-\alpha|s|);\,~\,r(s,\alpha)=exp(-\alpha{s^{2n}});\,~\,r(s,\alpha)=\frac{1}{1+\alpha{s^{2n}}} $$
для каждого $n\geq 1$.
Теорема. Пусть функция $u(x,y)$ вида (5) есть точное решение уравнения (1) с точными условиями (2),в а $\tilde{\varphi}(x)$ и $\tilde{\psi}(x)$ – известные приближения из $L_2(R)$, удовлетворяющие при данном $\delta>0$ неравенствам (6), и $y>0$ – заданное число. Тогда для каждой функции $r(s,\alpha)$, удовлетворяющей условиям 1)–7), оператор $R_r$ вида (7) является регуляризирующим для задачи (1)–(2), и если параметр $\alpha=\alpha(\delta)$ есть корень уравнения
$$ \sqrt{\omega(y,\alpha)}+\sqrt{\nu(y,\alpha)}=\frac{\varepsilon}{2\delta}, $$
причем $\lim_{\delta\to 0}\alpha(\delta)=0$, то при $\delta\to 0$ $R_r(\tilde{\varphi},\tilde{\psi},x,y,\alpha)$ сходится к функции $u(x,y)$.