О росте решений при большом времени параболических уравнений и неравенств

В полупространстве $\overline{D} = R^N \times [0, \infty ), N\geqslant 3$ рассмотрим задачу Коши
$$ \Delta u + q(x,t)u - u_t=0 ,\quad \text{в} \quad R^N \times (0,\infty),\tag{1} $$

$$ u(x,0)=u_0(x), \qquad x\in R^N,\tag{2} $$
где $q(x,t) \geqslant 0 $ в $D$, $u_0(x)$ – ограниченная, непрерывная функция.
Будем говорить, что решение задачи (1), (2) дестабилизируется, если существует предел:

$$ \lim_{t\to\infty} u(x,t)= +\infty, \tag{3} $$
равномерно по $x$ на каждом компакте $K$ в $R^N$.
Теорема. Если коэффициент $q(x,t)$ удовлетворяет условию:
$$ q(x,t)\geqslant \alpha^2 \min ({1,r^{-2}}), \tag{4} $$
при
$$ \alpha^2 > {\Bigl(\frac{N-2}{2}\Bigr)}^2, $$
то для любой непрерывной, ограниченной неотрицательной функции $u_0(x)$ решение задачи Коши (1), (2) дестабилизируется.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 15-01-00471).