|
|
Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
27 мая 2015 г. 17:05–17:30, Функциональные пространства, г. Москва, МИАН
|
|
|
|
|
|
Точные константы в $(q_1,q_2)$-обобщенном неравенстве треугольника для Box-квазиметрик некоторых канонических групп Карно
А. В. Грешнов, М. В. Трямкин Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН
|
Количество просмотров: |
Эта страница: | 215 | Материалы: | 49 |
|
Аннотация:
Неотрицательная функция $d_X$, определенная на декартовом произведении $X\times X$, где $X$ – некоторое
множество, называется $(q_1,q_2)$-квазиметрикой [1], если выполняются условия
$1^0$ $d_X(u,v)=0\Leftrightarrow u=v\quad\forall\,u,v\in X$ (аксиома тождества),
$2^0$ $d_X(u,w)\leq q_1d_X(u,v)+q_2d_X(v,w)\quad\forall\,u,v,w\in X$, где
$q_1$, $q_2>0$ – некоторые константы ($(q_1,q_2)$- обобщенное
неравенство треугольника).
Пара $(X,d_X)$ называется $(q_1,q_2)$-квазиметрическим
пространством. Если функция $d_X$ дополнительно удовлетворяет
условию $d_X(u,v)=d_X(v,u)$ $\forall\,u,v\in X$, то
$(q_1,q_2)$-квазиметрическое пространство называется симметрическим.
Эквирегулярные пространства Карно–Каратеодори [2] c Box-квазиметриками [3] являются симметрическими $(1,q_2)$-квазиметрическими пространствами [4]. Примерами эквирегулярных пространств Карно–Каратеодори являются канонические группы Карно. Нами найдены точные (неулучшаемые) значения константы $q_2$ для
Box-квазиметрик канонических групп Карно $\mathbb H_{\alpha_1,\dots,\alpha_n}$, которые определяются, см. [5], в стандартном пространстве $\mathbb R^{2n+1}$ при помощи таблицы коммутаторов $[e_i,e_{n+i}]=\alpha_ie_{2n+1}$, $\alpha_i>0$, $i=1,\dots,n$, и их важных частных случаев – одномерной $\mathbb H^1_{\alpha}$ ($n=1$) и $n$-мерной $\Bbb H^n_{\alpha}$ ($\alpha_1=\dots=\alpha_n=\alpha$) канонических групп Гейзенберга, а также для канонических групп Энгеля $\mathbb E_{\alpha,\beta}$, которые определяются в стандартном пространстве $\mathbb R^{4}$ при помощи таблицы коммутаторов $[e_1,e_2]=\alpha e_3$, $[e_1,e_3]=\beta e_4$, $\alpha>0$, $\beta>0$.
Работа выполнена при частичной поддержке Гранта Правительства Российской Федерации для государственной поддержки научных исследований (Договор № 14.B25.31.0029).
Дополнительные материалы:
abstract.pdf (180.3 Kb)
Список литературы
-
Арутюнов А. В., Грешнов А. В., “Накрывающие отображения в квазиметрических пространствах и пространствах Карно–Каратеодори”, Известия РАН, 2015 (в печати)
-
Gromov M., “Carnot-Caratheodory spaces seen from within”, Sub-Reimannian geometry, Birkhäuser, Basel, 1996, 79–323
-
Nagel A., Stein E. M., Wainger S., “Balls and metrics defined by vector fields I: Basic properties”, Acta Math., 1985, 103–47
-
Грешнов А. В., “Доказательство теоремы Громова об однородной нильпотентной аппроксимации для векторных полей класса $C^1$”, Матем. труды, 15:2 (2012), 72–88
-
Agrachev A., Barilari D., Boscain U., “On the Hausdorff volume in sub-Riemannian geometry”, Calc. Var., 43 (2012), 355–388
|
|