Точные константы в $(q_1,q_2)$-обобщенном неравенстве треугольника для Box-квазиметрик некоторых канонических групп Карно

Неотрицательная функция $d_X$, определенная на декартовом произведении $X\times X$, где $X$ – некоторое множество, называется $(q_1,q_2)$-квазиметрикой [1], если выполняются условия
$1^0$ $d_X(u,v)=0\Leftrightarrow u=v\quad\forall\,u,v\in X$ (аксиома тождества),
$2^0$ $d_X(u,w)\leq q_1d_X(u,v)+q_2d_X(v,w)\quad\forall\,u,v,w\in X$, где $q_1$, $q_2>0$ – некоторые константы ($(q_1,q_2)$- обобщенное неравенство треугольника).
Пара $(X,d_X)$ называется $(q_1,q_2)$-квазиметрическим пространством. Если функция $d_X$ дополнительно удовлетворяет условию $d_X(u,v)=d_X(v,u)$ $\forall\,u,v\in X$, то $(q_1,q_2)$-квазиметрическое пространство называется симметрическим.
Эквирегулярные пространства Карно–Каратеодори [2] c Box-квазиметриками [3] являются симметрическими $(1,q_2)$-квазиметрическими пространствами [4]. Примерами эквирегулярных пространств Карно–Каратеодори являются канонические группы Карно. Нами найдены точные (неулучшаемые) значения константы $q_2$ для Box-квазиметрик канонических групп Карно $\mathbb H_{\alpha_1,\dots,\alpha_n}$, которые определяются, см. [5], в стандартном пространстве $\mathbb R^{2n+1}$ при помощи таблицы коммутаторов $[e_i,e_{n+i}]=\alpha_ie_{2n+1}$, $\alpha_i>0$, $i=1,\dots,n$, и их важных частных случаев – одномерной $\mathbb H^1_{\alpha}$ ($n=1$) и $n$-мерной $\Bbb H^n_{\alpha}$ ($\alpha_1=\dots=\alpha_n=\alpha$) канонических групп Гейзенберга, а также для канонических групп Энгеля $\mathbb E_{\alpha,\beta}$, которые определяются в стандартном пространстве $\mathbb R^{4}$ при помощи таблицы коммутаторов $[e_1,e_2]=\alpha e_3$, $[e_1,e_3]=\beta e_4$, $\alpha>0$, $\beta>0$.
Работа выполнена при частичной поддержке Гранта Правительства Российской Федерации для государственной поддержки научных исследований (Договор № 14.B25.31.0029).