Об обратной задаче о резонансах для оператора Шредингера на полуоси

Пусть $SE(\gamma)$, $\gamma > 0$ – пространство, состоящее из всех измеримых функций $q\colon[0,\infty)\to \mathbb{C}$ таких, что
$$ \Vert q\Vert_{SE(\gamma)}:=\int_{0}^{\infty}|q(x)|\exp(x^{\gamma}) dx < \infty. $$

Рассматривается одномерное уравнение Шрёдингера
\begin{equation*} \label{N424:eq_SchroedEV} -y''(x) + q(x) y(x) = z^2 y(x), \qquad x\in [0,\infty),\quad z\in \mathbb{C}, \quad q\in SE(\gamma), \quad \gamma > 1. \end{equation*}

Пусть $\psi_q(z) = y_q(0,z) = 1 + \int_{0}^{\infty}K_{q}(0, t)\exp(izt)dt$, где $K_{q}(x,t)$ – ядро оператора преобразования [N424:Marchenko], а $y_q(x,z)$ – решение Йоста. Тогда $\psi_q(z)$ есть целая функция порядка, не превосходящего $\rho(\gamma)\le \frac{\gamma}{\gamma - 1}$. Нули этой функции, лежащие в нижней полуплоскости, называются резонансами оператора Шредингера. Множество всех нулей функции $\psi_q$ (с учетом кратности) определяет потенциал $q$ однозначно.
В работе [N424:Marletta] рассматривается задача об устойчивости восстановления потенциала $q$ с компактным носителем по резонансам из круга $|z| < R$. В данной работе обобщены результаты [N424:Marletta].
Теорема. Существуют такие положительные константы $R_0=R_0(\gamma, N)$, $C_0=C_0(\gamma, N)$, $\alpha=\alpha(\gamma)$, что при всех $R > R_0$ из совпадения в круге $|z| < R$ нулей функций Йоста $\psi_1(z)$ и $\psi_2(z)$ для потенциалов $q_1,q_2$, удовлетворяющих условию
\begin{equation*} \Vert q_j\Vert_{SE(\gamma)}\le N, \end{equation*}
следует, что для всех $z$ из круга $|z| < R^{\alpha}$
\begin{equation*} |\psi_2(z) - \psi_1(z)| < C_0 R^{-\alpha}. \end{equation*}

Теорема. Существуют положительные константы $R_1$, $C_1$, зависящие от $\gamma, \ p\in (1,2], \ N, \ M$, и константа $\beta$, зависящая от $\gamma$ и $p$, такие, что при всех $R > R_1$ из совпадения в круге $|z|<R$ нулей функции Йоста $\psi_1(z)$ и $\psi_2(z)$ для потенциалов $q_1,q_2$, удовлетворяющих условию
\begin{equation*} \Vert q_j\Vert_{SE(\gamma)}\le N, \Vert q_2 - q_1\Vert_{L^p[0,\infty)} \le M, \end{equation*}
следует, что
\begin{equation*} \sup_{x\ge 0}\left|\int_{x}^{\infty}(q_2(s) - q_1(s))ds\right| \le C_1R^{-\beta}. \end{equation*}