Кратные коэффициенты Фурье и обобщенные классы Липшица в равномерной метрике

Пусть $\{c_{jk}\}_{j,k\in \mathbb Z}\subset \mathbb C$ and $\sum_{j\in \mathbb Z}\sum_{k\in \mathbb Z}|c_{jk}|<\infty$. Тогда $f(x,y)=\sum_{j\in \mathbb Z}\sum_{k\in \mathbb Z}c_{jk}e^{i(jx+ky)}$ является непрерывной $2\pi$-периодической по каждому аргументу функцией. Пусть
$$\triangle_{t,\tau}^{m,n}f(x,y)=\sum_{j=0}^m\sum_{k=0}^n(-1)^{j+k}\binom{m}{j}\binom{n}{k}f(x+(m-2j)t/2,y+(n-2j)\tau/2)$$
является смешанной разностью порядков $m,n$ с шагом $t,\tau$. Легко видеть, что справедливо равенство
$$ \triangle_{t,\tau}^{m,n}f(x,y)=(2i)^{m+n}\sum_{j\in \mathbb Z}\sum_{k\in \mathbb Z} (\sin jt/2)^m(\sin k\tau/2)^n c_{jk}e^{i(jx+ky)}. $$
Пусть класс $\Phi^{(2)}$ состоит из положительных на $[0,2\pi]^2\setminus\{(0,0)\}$ функций $\omega$, где $\omega(0,0)=0$, $\omega(x_2,y_2)-\omega(x_2,y_1)-\omega(x_1,y_2)+\omega(x_1,y_1)\geq 0$ and $\omega(x_2,y_2)\geq\omega(x_1,y_1)$ if $x_2\geq x_1$, $y_2\geq y_1$, $x_i,y_i\in [0,2\pi]$, $i=1,2$. Если $\omega\in\Phi^{(2)}$ такова, что
$$\sum_{i=m}^\infty\sum_{j=n}^\infty (ij)^{-1}\omega\left(\frac{2\pi}{i},\frac{2\pi}{j}\right) =O\left(\omega\left(\frac{2\pi}{m},\frac{2\pi}{n}\right)\right), \quad m,n\in \mathbb N,$$
то $\omega$ принадлежит классу ВВ. Если же $m,n>0$ и для $\omega\in\Phi^{(2)}$ справедливо неравенство
$$ \sum_{i=1}^j\sum_{k=1}^l i^{m-1}j^{n-1}\omega\left(\frac{2\pi}{i},\frac{2\pi}{k}\right)= O\left(j^ml^n\omega\left(\frac{2\pi}{j},\frac{2\pi}{l}\right)\right), \quad j,l\in \mathbb N, $$
то $\omega$ принадлежит классу $B_mB_n$. Одномерные аналоги этих классов введены Н.К. Бари и С.Б. Стечкиным [1]. Будем писать $f\in H^{\omega,m,n}$ для $m,n\in\mathbb N$ и $\omega\in \Phi^{(2)}$, если для всех $\delta_1,\delta_2\in [0,2\pi]$ верно неравенство $\omega_{mn}(f,\delta_1,\delta_2)=\sup\{|\triangle_{t,\tau}^{m,n}f(x,y):0\leq t\leq\delta_1,0\leq \tau\leq\delta_2\}\leq C\omega(\delta_1,\delta_2)$. Соответственно, $h^{\omega,m,n}=\{f\in H^{\omega,m,n}:\omega_{mn}(f,\delta_1,\delta_2)=o(\omega(\delta_1,\delta_2)), \delta_1,\delta_2\to 0+0\}$. Будем писать $\omega \in \Delta_2$, если $\omega(2t,\tau)\leq C_1 \omega(t,\tau)$ для всех $2t,\tau\in [0,2\pi]$ and $\omega(t,2\tau)\leq C_1 \omega(t,\tau)$ for all $t,2\tau\in [0,2\pi]$.
Теорема 1.
(i) Пусть $\{c_{jk}\}_{j,k\in \mathbb Z}$ и $f(x,y)$ определены выше. Если $m,n\in \mathbb N$, $\omega\in BB\cap \Delta_2$ и имеет место соотношение
$$ \sum_{|j|\leq M} \sum_{|k|\leq N} |j^mk^nc_{jk}|=O\left(M^mN^n \omega\left(\frac{2\pi}{M},\frac{2\pi}{N}\right)\right), \quad M,N\in \mathbb N, \tag{1} $$
то $f\in H^{\omega,m,n}$.
(ii) Если $\{c_{jk}\}_{j,k\in \mathbb Z}$ и $f(x,y)$ определены выше, $m,n\in \mathbb N$ and $j^mk^nc_{jk}\geq 0$ for all $|j|, |k|\geq 1$, то из $f\in H^{\omega,m,n}$ следует выполнение соотношения (1).
Следствие. Пусть $m,n\in \mathbb N$, $\omega\in BB\cap B_nB_m$, $j^mk^nc_{jk}\geq 0$ для всех $j.k\in\mathbb Z$. Если $\{c_{jk}\}_{j,k\in \mathbb Z}$ и $f(x,y)$ определены выше, то следующие четыре соотношения попарно эквивалентны:
1) $f\in H^{\omega,m,n}$;
2) (1);
3) $ \sum\limits_{|j|=M}^\infty \sum\limits_{|k|=N}^\infty |c_{jk}|=O\left(\omega\left(\frac{2\pi}{M},\frac{2\pi}{N}\right)\right)$, $M,N\in \mathbb N$;
4) $ \sum_{j=[M/2]}^M \sum_{k=[N/2]}^N |c_{jk}|=O\left(\omega\left(\frac{2\pi}{M},\frac{2\pi}{N}\right)\right)$, $M,N\in \mathbb N\cap [2,+\infty)$.
Теорема 2. Пусть $\{c_{jk}\}_{j,k\in \mathbb Z}$ и $f(x,y)$ определены выше.
(i) Если $m,n\in \mathbb N$, $\omega\in BB\cap \Delta_2$ и выполнено условие
$$ \sum_{|j|\leq M} \sum_{|k|\leq N} |j^mk^nc_{jk}|=o\left(M^m N^n \omega\left(\frac{2\pi}{M},\frac{2\pi}{N}\right)\right), \quad M,N\to\infty, \tag{2} $$
то $f\in h^{\omega,m,n}$.
(ii) Если $j^mk^nc_{jk}\geq 0$ for all $|j|, |k|\geq 1$ и $f\in h^{\omega,m,n}$, то (2) имеет место.
Результаты выше уточняют и обобщают результаты Ф. Морица из [2].