Пространства Соболева, геометрическая теория функций и их применения

В докладе будут показаны результаты и идеи, полученные в ряде недавних работ, в основании которых лежит описание соболевских гомеоморфизмов $\varphi\colon \Omega\to\Omega'$ открытых областей евклидова пространства $\mathbb R^n$, $n\geq2$, обратный к которым также принадлежит классу Соболева [1]. Этот результат описывает двухиндексную шкалу гомеоморфизмов, зависящих от вещественных параметров $n-1<q \leq p<\infty $.
Такие гомеоморфизмы при некоторых условиях на функцию искажения и только такие индуцируют ограниченный оператор $\varphi^*\colon L_p^1(\Omega')\to L_q^1(\Omega)$ пространств Соболева (включая весовые) по правилу композиции: $\varphi^*(f)=f\circ \varphi$ [2].
Результаты работ [1,2,3] мотивируют следующее
Определение. Пусть $\theta\colon \mathbb R^n\to[0,\infty]$ — измеримая функция: $0<\theta<\infty$ п. вс. Отображение $\varphi\colon \Omega\to \mathbb R^n$, $\Omega\subset\mathbb R^n$, $n\geq2$, называется отображение с ограниченным $\theta$-весовым $(p,q)$-искажением, $n-1< q\leq p<\infty$, если:

• 1) $\varphi\in W^1_{q,\text{loc}}(\Omega)$;
  
• 2) $\varphi$ имеет конечное искажение: $D\varphi(x)=0$ п. вс. на множестве нулей якобиана $J(x,\varphi)=\det D\varphi(x)$;
  
• 3) $\varphi$ непрерывно открыто и дискретно, и $J(x,\varphi)\geq0$;
  
• 4) $\theta$-весовая функция $(q,p)$-искажения
  \begin{equation*} \Omega \ni x\mapsto K_q^{\theta}(x,\varphi)=\begin{cases} \dfrac{\theta^{\frac{1}{q}}(x)|D \varphi(x)|}{J(x,\varphi)^\frac1p},\quad &\text{если}\ \ J(x,\varphi)>0, \\[4mm] 0&\text{иначе} \end{cases} \end{equation*}
  принадлежит $L_{\kappa}(\Omega)$, где $\frac1{\kappa}=\frac1q-\frac1p$ ($\kappa=\infty$ при $p=q$).

Очевидно, что в случае $\theta\equiv1$, $q=p=n$ мы получаем отображение с ограниченным искажением, начала теории которых были заложены Ю. Г. Решетняком в 1960-ые годы прошлого века [3]. Если дополнительно $\varphi$ — гомеоморфизм, то $\varphi$ — квазиконформное отображение.
Метод работы [1] позволяет исследовать свойства отображений с ограниченным $\theta$-весовым $(p,q)$-искажением без обременительных аналитических предположений (в ряде работ предполагалось дополнительно выполнение $\mathcal N$-свойства Лузина). Показано, что новый класс отображений наследует многие свойства отображений с ограниченным искажением:

• 1) обобщенную лемму Полецкого [4];
  
• 2) оценки для емкости образа кольцевой области [5], доказательство которых основывается на работах [1,4];
  
• 3) теорему Лиувилля [5];
  
• 4) устранимость множеств [5]

и др. результаты.
Упомянутые выше результаты применяются для исследовании задача минимизации функционала $I(\varphi)=\int_{\Omega}W(x,D\varphi)\,dx$ на новом классе отображений сравнительно с классами, исследуемыми ранее Дж. Боллом [6]. Ослаблены условия суммируемости допустимых деформаций до $\varphi\in W^1_n(\Omega)$ и условия роста подынтегральной функции $W(x,F)$. Компенсацией за ослабление вышеперечисленных условий является требование на характеристику искажения $\frac{|D\varphi(x)|}{J(x,\varphi)^{\frac{1}{n}}} \leq M(x) \in L_{ns}(\Omega)$. В условиях поливыпуклости и коэрцитивности подынтегральной функции $W(x,F)$ получена теорема существования задачи минимизации функционала $I(\varphi)$ на новом семействе допустимых деформаций $\mathcal{A}$ [7]. Приводится пример поливыпуклой функции $W(x,F)$, не удовлетворяющей условиям работы [6], для которой, тем не менее, можно решить задачу минимизации для функционала $I(\varphi)$.
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (код проекта № 14-01-00552).