Спектральный анализ и корректная разрешимость гиперболических вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений

Исследуются интегро-дифференциальные уравнения с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Главная часть рассматриваемых уравнений представляет собой абстрактное гиперболическое уравнение, возмущенное суммами вольтерровых интегральных операторов. Указанные абстрактные интегро-дифференциальные уравнения могут рассматриваться как операторные модели задач, возникающих в линейной теории вязкоупругости, теории усреднений, теплопроводности в средах с памятью и т.д. Примером конкретной актуальной проблемы является задача для системы интегро-дифференциальных уравнений в частных производных линейной теории вязкоупругости:
$$ \rho \ddot u(x,t) - (L_1+L_2)u(x,t) + \int_0^t K_1(t - s)L_1u(x,s)\,ds+\int_0^t K_2(t - s)L_2u(x,s)\,ds=f(x,t), $$
где $u = \vec u(x,t) \in {\mathbb{R}^3}$ – вектор перемещений вязкоупругой наследственной среды, $t>0$, $x \in \Omega \subset {\mathbb{R}^3}$ – ограниченная область с гладкой границей, вектор $u$ удовлетворяет условию Дирихле на границе области $\Omega $, $L_1u = \mu \cdot (\Delta u + \mathrm{grad}\,\mathrm{div}u)$, $L_2u =\lambda \cdot \mathrm{grad}\,\mathrm{div}u$, $\lambda$, $\mu$ – постоянные коэффициенты Ламе, $L=L_1+L_2$ – оператор Ламе теории упругости, ${K _1}$, ${K _2}$ – функции релаксации памяти, представляющие собой ряды убывающих экспонент с положительными коэффициентами, характеризующие наследственные свойства среды.
Установлена локализация и структура спектра оператор-функций, являющихся символами указанных интегро-дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Получены результаты о корректной разрешимости эти уравнений в весовых пространствах Соболева вектор-функций со значениями в гильбертовом пространстве, заданных на положительной полуоси.
Полученные результаты являются естественным обобщением и развитием результатов, опубликованных в работах [1], [2].
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 14-11-00754).