Потенциалы–обобщëнные функции в задаче об априорных оценках оператора Штурма–Лиувилля

Рассматривается класс граничных задач
$$\begin{gather*} -y''+qy=\lambda y,\\ y(0)=y(1)=0, \end{gather*}$$
где потенциал пробегает область
$$A_{1,r}\rightleftharpoons\left\{q\in L_1[0,1]\;:\; q\geqslant 0,\;\int_0^1 rq\,dx=1\right\},$$
заданную некоторой положительной весовой функцией $r\in C(0,1)$. Устанавливается, что на замыкании $\Gamma_{1,r}$ класса $A_{1,r}$ в пространстве обобщëнных функций $\mathring W_{2,loc}^{-1}(0,1)$ существует и однозначно определëн потенциал $\hat q$ со свойством $\lambda_0(\hat q)=M_{1,r} \rightleftharpoons\sup_{q\in A_{1,r}}\lambda_0(q)$. При этом характеристическим свойством такого потенциала является соотношение
$$\sup_{x\in (0,1)}\dfrac{y_{\hat q}^2(x)}{r(x)}=\langle\hat q,y_{\hat q}^2\rangle,$$
где $y_{\hat q}$ — отвечающая потенциалу $\hat q$ неотрицательная собственная функция.
Результаты доклада обобщают относящиеся к случаю $r(x)\equiv 1$ результаты работы [1].
Работа поддержана РНФ, грант № 14-11-00754.