О смешанной задаче для волнового уравнения на графе

Рассматривается простейший геометрический граф, состоящий из двух ребер-колец, касающихся в одной точке (узле графа). Параметризуя каждое ребро графа отрезком $[0,1]$, изучаем на таком графе следующую смешанную задачу для волнового уравнения:
$$
\begin{array}{c} \frac{\partial^2 u_j(x,t)}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u_j(x,t)}{\partial x^2} - q_j(x) u_j(x,t), \quad (j=1,2),\,\,\\ x\in[0,1], t\in(-\infty,\infty), \end{array}
\tag{1} $$

$$ u_1(0,t)=u_1(1,t)=u_2(0,t)=u_2(1,t), \tag{2} $$

$$ u'_{1x}(0,t)- u'_{1x}(1,t)+ u'_{2x}(0,t)- u'_{2x}(1,t)=0, \tag{3} $$

$$ u_1(x,0)=\varphi_1(x),\quad u_2(x,0)=\varphi_2(x),\quad u'_{1t}(x,0)=u'_{2t}(x,0)=0, \tag{4} $$
где $q_j\in C[0,1]$ (условия (2), (3) порождены структурой графа).
Решение задачи ищется методом Фурье. Используется подход, предложенный в [1], [2], который позволяет с помощью специального преобразования формального ряда получить классическое решение задачи при минимальных условиях на начальные данные, и более того, избежать при этом трудоемкого исследования асимптотики собственных функций соответствующего оператора. Предполагаем для $\varphi(x)=(\varphi_1(x),\varphi_2(x))^T$ ($T$ — знак транспонирования) выполненными требования: $\varphi_j(x)\in C^2[0,1]$ и комплекснозначные,
$$ \varphi_1(0)=\varphi_1(1)=\varphi_2(0)=\varphi_2(1), \quad \varphi'_1(0)-\varphi'_1(1)+\varphi'_2(0)-\varphi'_2(1)=0, \tag{5} $$

$$ \varphi''_1(0)=\varphi''_1(1)=\varphi''_2(0)=\varphi''_2(1). \tag{6} $$
Кроме того, для простоты ограничимся случаем: $q_1(0)=q_2(0)=q_1(1)=q_2(1)$.
Метод Фурье приводит к спектральной задаче: $Ly=\lambda y$, где $Ly=(-y_1''+q_1(x)y_1, -y''_2+q_2(x) y_2)^T$ с краевыми условиями (5).
Собственные значения $\lambda_n$ оператора $L$ асимптотически приближаются к числам $\lambda_n^0=(\pi n)^2$ при $n\to \infty$, причем они могут быть и кратными. Обозначим $\widetilde{\gamma}_n=\left\{\rho\,|\, \left|\rho-\pi n\right|=\delta\right\}$, где $\delta>0$ и достаточно мало, ${\gamma_n}$ — образ $\tilde{\gamma_n}$ в $\lambda$-плоскости ($\lambda=\rho^2$, $\mathrm{Re}\rho \ge 0$).
Формальное решение $u(x,t)=(u_1(x,t), u_2(x,t))^T$ задачи (1)–(4) можно записать в виде:
$$ u(x,t)=-\frac{1}{2\pi i}\left(\int_{|\lambda|=r}+ \sum_{n\geq n_0}\,\int_{{\gamma_n}}\right) \left(R_{\lambda}\varphi\right)\cos\rho t\,d\lambda, $$
где $r>0$ и фиксировано, ${\gamma_n}$ вне $|\lambda|=r$, собственные значения $|\lambda_n|>r$ попадают в ${\gamma_n}$ при $n\ge n_0$; $R_{\lambda}=\left(L-\lambda E\right)^{-1}$ — резольвента оператора $L$ ($E$ — единичный оператор, $\lambda$ — спектральный параметр).
Преобразование решения строится следующим образом: полагаем $u(x,t)= u_0(x,t) + u_1(x,t),$ где
$$ u_0(x,t)= -\frac{1}{2\pi i}\left(\int_{|\lambda|=r}+\sum_{n\geq n_0}\,\int_{{\gamma_n}}\right)\frac{1}{\lambda-\mu_0} (R_{\lambda}^0 g)\cos\rho t\,d\lambda, $$

$$ u_1(x,t)= -\frac{1}{2\pi i}\left(\int_{|\lambda|=r}+\sum_{n\geq n_0}\,\int_{{\gamma_n}}\right)\frac{1}{\lambda-\mu_0} [R_{\lambda} g -R_{\lambda}^0 g]\cos\rho t\,d\lambda, $$
$|\mu_0|>r$ и $\mu_0$ не является собственным значением операторов $L$ и $L_0$, причем $\mu_0$ вне ${\gamma_n}$ при $n\ge n_0$; $g=(L-\mu_0E)\varphi$, $L_0$, есть оператор $L$ при $q(x)\equiv 0$, $R^0_{\lambda}=(L_0-\lambda E)^{-1}$.
Ряд $u_0(x,t)$, представляющий формальное решение задачи (1)–(4) при $q(x)\equiv 0$, суммируется, его сумма представляет аналог формулы Даламбера [3].
Исследуя резольвенту оператора $L$ и используя методы [1], [2] доказывается, что ряд $u_1(x,t)$ и ряды, получающиеся из него почленным дифференцированием по $x$ и $t$ до второго порядка, сходятся абсолютно и равномерно по $x\in [0,1]$ и $t\in [-T,T]$, где $T>0$ любое.
Теорема. Формальное решение $u(x,t)$ есть классическое решение задачи (1)–(4) при $\varphi_j\in C^2[0,1]$, удовлетворяющих условиям (5)–(6).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 13-01-00238, 14-01-00867).