О $\tau$-измеримых операторах, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана

Пусть $\tau$ – точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана $\mathcal{M}$, $\widetilde{\mathcal{M}}$ – $*$-алгебра всех $\tau$-измеримых операторов, $L_1(\mathcal{M},\tau) $ – банахово пространство $\tau$-интегрируемых операторов и число $1 \geq q >0$. Получены обобщения задач 163 и 139 из [1] на $\tau$-измеримые операторы: установлено, что
1) каждый $\tau$-компактный $q$-гипонормальный оператор нормален;
2) если оператор $A\in \widetilde{\mathcal{M}}$ нормален и для некоторого натурального числа $n$ оператор $A^n\;$ $\tau$-компактен, то и оператор $A\;$ $\tau$-компактен.
Нами показано, что если оператор $A\in \widetilde{\mathcal{M}}$ гипонормален и оператор $A^2\;$ $\tau$-компактен, то и оператор $A\;$ $\tau$-компактен. Установлено новое свойство невозрастающих перестановок произведения гипонормального и когипонормального $\tau$-измеримых операторов. Для нормальных операторов $A,B \in \widetilde{\mathcal{M}}$ показано совпадение невозрастающих перестановок операторов $AB$ и $BA$. Из известного свойства перестановок имеем: неотрицательный оператор $A \in \widetilde{\mathcal{M}}\;$ $\tau$-компактен тогда и только тогда, когда $\tau$-компактен $A^p$ для всех $p>0$. Нами показано, что аналогичная картина имеет место и для произведения неотрицательных операторов $A,B \in \widetilde{\mathcal{M}}$: $\tau$-компактность $AB$ эквивалентна $\tau$-компактности операторов $A^pB^r$ для всех $p,r>0$. Получены приложения полученных результатов к $F$-нормированным симметричным пространством на $(\mathcal{M}, \tau)$.
Если $A=A^*$, $B=B^*$ – $\tau$-измеримые операторы и $AB \in L_1(\mathcal{M},\tau)$, то $ BA \in L_1(\mathcal{M},\tau)$ и $\tau(AB) =\tau( BA)\in \mathbb{R}$. Если $A \in L_1(\mathcal{M},\tau)$, то $\tau(A^*) =\overline{\tau( A)}$.
Пусть $A\in \widetilde{\mathcal{M}}$. Если оператор $A$ $\tau$-компактен и $V \in \mathcal{M}$ является сжатием, то из $V^*AV=A$ следует, что $VA=AV$. Имеем $A=A^2$ тогда и только тогда, когда $A=|A^*||A|$. Это представление является новым и для ограниченных идемпотентов в $\mathcal H$. Если $A=A^2 \in L_1(\mathcal{M},\tau) $, то $\tau( A)= \tau( \sqrt{| A|}|A^*| \sqrt{| A|}) \in \mathbb{R}^+$.
Если $A=A^2$ и $A$ (или $A^*$) полу-гипонормален, то $A$ нормален, тем самым $A$ является проектором. Если $A=A^3$ и $A$ гипонормален или когипонормален, то $A$ нормален, тем самым $A=A^*\in \mathcal{M}$ и является разностью двух взаимно ортогональных проекторов $(A+A^2)/2$, $(A^2-A)/2$. Если $A, A^2 \in L_1(\mathcal{M},\tau) $ и $A=A^3$, то $\tau( A) \in \mathbb{R}$.