Локальные пространства Морри

Пусть $X$ идеальное пространство функций на $R^n$, $L$ идеальное пространство на $R_+$, $l$ идеальное пространство последовательностей: $ x= \sum_{-\infty}^{\infty} x_i e^i$, где $e^i,$ ($i \in Z$) стандартный базис в пространстве последовательностей, символом $\|x|X\|$ будем обозначать норму элемента $x \in X$. Зафиксируем множество $U \subset R^n$, для которого $0 \in U$, $\mu(U) >0$, $\chi(U)$ его характеристическая функция. Через $U(r)$ будем обозначать растяжение $ U$ в $r $ раз ($r>0$).
Пространство Морри $ M_{L,X}$ состоит из тех $f \in L^{1,loc}(R^n)$, для которых конечна норма
$$ \|f| M_{L,X}\| = \| \|f(\,\cdot\,) \chi (U(r),\,\cdot\,)|X\||L \|$$
(внешняя норма вычисляется по переменной $r$).
Зафиксируем монотонную последовательность радиусов $\tau =\{r_i\}_{-\infty}^{\infty}$ такую, что $\lim_{i \to \infty} r_i = \infty$, $\lim_{i \to -\infty} r_i = 0$.
Пространство $ M_{l,X}^\tau $ состоит из тех $f \in L^{1,loc}(R^n)$, для которых конечна норма
$$ \|f| M_{l,X}^\tau\| = \|\sum_{-\infty}^{\infty} e^i \|f(.) \chi (U(r_i)\setminus U(r_{i-1}))|X\||l \|.$$

Опишем дуальное пространство для пространства $M_{l,X}^\tau $.
Теорема. Пусть задано пространство $ M_{l,X}^\tau $. Тогда справедливо равенство
$$ \{ M_{l,X}^\tau\}^{'} = M_{l^{'},X^{'}}^\tau, $$
причем дуальная норма совпадает с нормой в пространстве $M_{l^{'},X^{'}}^\tau$.
Обратимся теперь к проблеме описания интерполяционных пространств для пространств $M_{l,X}^\tau $.
Теорема. Пусть задана интерполяционная пара пространств ($ M_{l_0,X_0}^\tau $, $ M_{l_1,X_1}^\tau $). Пусть $\digamma$ – интерполяционный функтор.
Тогда справедливо равенство
$$ \digamma (M_{l_0,X_0}^\tau , M_{l_1,X_1}^\tau) = M_{\digamma (l_0(X_0), l_1(X_1))}^\tau, $$
причем нормы в этих пространствах совпадают.
Заметим, что для звездных относительно нуля множеств $U$ при некоторых условиях на $L$ для пространства Морри $M_{L,X}$ можно найти пространство $M_{l,X}^\tau $ такое, что $M_{L,X}$ и $M_{l,X}^\tau $ естественно изоморфны. Поэтому переход от $M_{L,X}$ к $M_{l,X}^\tau $ дает новый подход даже для исследования классических пространств Морри.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, код проекта 14-01-00417.