О необходимом условии ступенчатой функции, порождающей ортогональный КМА на группе Виленкина

Пусть $p$ – простое число. Мы рассматриваем кратномасштабный анализ на локально-компактных группах Виленкина
$$ \mathfrak{G}=\{x=(\dots,0,0,\dots,0,x_n,x_{n+1},\dots)|\forall\, n\in\mathbb{Z},\forall\, x_i=\overline{0,p-1},x_n\neq 0\}. $$
На группе определена операция покоординатного сложения по модулю $p$ и она может быть представлена в виде $\mathfrak{G}=\bigcup_n \mathfrak{G}_n$, где
$$ \mathfrak{G}_n=\{x=(\dots,0,0,\dots,0,x_n,x_{n+1},\dots)| n\in\mathbb{Z},\forall x_i=\overline{0,p-1},x_n\neq 0\}, $$
и выполняется вложение
$$ \dotsb\supset\mathfrak{G}_{-n}\supset \dots\supset\mathfrak{G}_0\supset\mathfrak{G}_1\supset \dots\supset\mathfrak{G}_n\supset \dotsb $$
Также мы рассматриваем аннуляторы $\mathfrak{G}_n^\bot$ – множества характеров, обращающих группы $\mathfrak{G}_n$ в единицу.
Для построения кратномасштабного анализа на $L_2(\mathfrak{G})$ необходимо найти масштабирующую функцию $\varphi(x)$, которая является решением масштабирующего уравнения. для преобразования Фурье $\hat\varphi(\chi)$ которой выполняется условие
$$ \hat\varphi(\chi)=m_0(\chi)\hat\varphi(\chi A^{-1}), $$
где $A$ – оператор растяжения, а функция $m_0(\chi)$ называется маской.
Ю. Фарков [2] нашел необходимые и достаточные условия на масштабирующую функцию, при которых она порождает кратномасштабный анализ на группах Виленкина. Но в его работах нет алгоритма построения такой масштабирующей функции. В данной работе исследование этого вопроса ведется в терминах, пригодных для создания такого алгоритма.
Мы будем рассматривать функции $\hat\varphi(\chi)\in\mathfrak D_{-N}(\mathfrak G^\bot_M)$, то есть постоянные на смежных классах вида $G^\bot_{-N}\zeta$ и с компактным носителем $\mathrm{supp}(\hat\varphi(\chi))\subset\mathfrak G^\bot_M$.
Тогда возможно сформулировать необходимое условие для такой функции, порождающей ортогональный КМА на группе Виленкина, выраженное в терминах теории графов.
В работе [1] было выяснено, что маска $m_0(\chi)$ такой функции обладает следующими свойствами:
1) $m_0(\chi)$ постоянна на смежных классах вида $\mathfrak G^\bot_{-N}\zeta$.
2) $m_0(\chi)$ периодична с любым периодом $r_1^{\alpha_1}r_2^{\alpha_2}\dots r_s^{\alpha_s}$, где $\alpha_i=\overline{0,p-1}$.
3) $m_0(\mathfrak G^\bot_{-N})=1$.
Укажем способ построения ориентированного графа по масштабирующей функции.
Алгоритм.
1) Пусть вершины графа имеют вид $\overline\alpha^j=(\alpha^j_i)_{i=1}^N$. Множество всех вершин графа будем обозначать $\{\overline\alpha^j\}$.
2) Пусть $\hat\varphi(\mathfrak G^\bot_{-N} r_{-N}^{\alpha_{-N}}r_{-N+1}^{\alpha_{-N+1}}\dots r_{0}^{\alpha_{0}}\dots r_{s-1}^{\alpha_{s-1}})\neq 0$, где $s\leq M$. Это условие, пользуясь равенством
$$ \hat\varphi(\chi)=\prod_{n=0}^\infty m_0(\chi A^{-n}), $$
периодичностью маски и переобозначением
$$ m_0(\mathfrak G^\bot_{-N} r_{-N}^{\alpha_{-N}}r_{-N+1}^{\alpha_{-N+1}}\dots r_{0}^{\alpha_{0}})=\lambda_{\alpha_{-N},\alpha_{-N+1},\dots,\alpha_{0}}, $$
можно переписать в виде:
$$ \hat\varphi(\mathfrak G^\bot_{-N} r_{-N}^{\alpha_{-N}}r_{-N+1}^{\alpha_{-N+1}}\dots r_{0}^{\alpha_{0}}\dots r_{s-1}^{\alpha_{s-1}})=\lambda_{\alpha_{-N},\alpha_{-N+1},\dots,\alpha_{0}}\lambda_{\alpha_{-N+1},\alpha_{-N+2},\dots,\alpha_{1}}\dots $$

$$ \dots\lambda_{\alpha_{s-N-1},\alpha_{s-N},\dots,\alpha_{s-1}} \lambda_{\alpha_{s-N},\alpha_{s-N+1},\dots,\alpha_{s-1},0}\dots\lambda_{\alpha_{s-1},0,\dots,0}\neq 0. $$

Неравенство нулю выполняется только в том случае, если все значения маски $\lambda_{\alpha_{i-N},\dots,\alpha_{i}},$ участвующие в данном произведении, отличны от нуля. Для каждого такого $\lambda$ мы строим дугу
$$ (\alpha_{i-N},\alpha_{i-N+1}\dots,\alpha_{i-1})\to(\alpha_{i-N+1},\alpha_{i-N+2},\dots,\alpha_{i}). $$

3) Перебирая все смежные классы, на которых преобразование Фурье $\hat\varphi(\chi)$ отлично от нуля и производя аналогичные операции, мы получаем орграф $\Gamma$, в котором каждая дуга соответствует ненулевому значению маски.
Теорема. Пусть $\varphi(x)$ – масштабирующая функция, причем $\hat\varphi(\chi)\in\mathfrak D_{-N}(\mathfrak G^\bot_M)$. Тогда орграф $\Gamma$, построенный по алгоритму 1, обладает следующими свойствами:
1) Если имеется дуга $\overline\alpha^j\rightarrow\overline\alpha^k$, это означает, что $N-1$ последняя компонента $\overline\alpha^j$ совпадает с первыми $N-1$ компонентами $\overline\alpha^k$. Иными словами $\forall\,i=\overline{1,N-1}$, $\alpha^j_{i+1}=\alpha^k_i$.
2) Из любой вершины орграфа, отличной от $\overline 0=(0,0,\dots,0)$, есть путь в вершину $\overline 0$.
3) Граф не содержит контуров, то есть замкнутых путей.
4) Из вершины $\overline 0$ не исходит дуг.