Пространства мультипликаторов для пространств бесселевых потенциалов: эквивалентные нормы и характеризация в шкале пространств $H^s_{p,unif}(\mathbb{R}^n)$

В работе исследуются мультипликаторы из пространства бесселевых потенциалов $H^k_p(\mathbb{R}^n)$ с положительным индексом гладкости в пространство бесселевых потенциалов $H^{-l}_{q'}(\mathbb{R}^n)$ с отрицательным индексом гладкости и возможность описания пространств мультипликаторов $M(H^k_p(\mathbb{R}^n) \to H^{-l}_{q'}(\mathbb{R}^n))$ в шкале равномерно локализованных пространств бесселевых потенциалов $H^s_{p,unif}(\mathbb{R}^n)$.
Несложно показать, что для произвольных $k, l \geqslant 0$, $p, q > 1$ имеет место непрерывное вложение
$$ M(H^k_p(\mathbb{R}^n) \to H^{-l}_{q'}(\mathbb{R}^n)) \subset H^{-l}_{q',unif}(\mathbb{R}^n) \cap H^{-k}_{p',unif}(\mathbb{R}^n). $$

Доказательство же обратного вложения возможно лишь при выполнении дополнительных ограничений на индексы $k, l, p, q$. В случае $p \leqslant q'$ на пространстве мультипликаторов $M(H^k_p(\mathbb{R}^n) \to H^{-l}_{q'}(\mathbb{R}^n))$ можно ввести равномерную мультипликаторную норму, эквивалентную стандартной норме этого пространства. В этом случае, опираясь на методы, развитые в работах [1] и [2], автором в статье [3] получен критерий вложения пространств $H^{\gamma}_{r,unif}(\mathbb{R}^n)$ в пространство $M(H^k_p(\mathbb{R}^n) \to H^{-l}_{q'}(\mathbb{R}^n))$ в терминах выполнения функциональных мультипликативных оценок.
С помощью этого подхода автором получено описание пространства мультипликаторов в следующем важном частном случае.
Теорема. Пусть $p,q > 1$, $p \leqslant q'$ и $k > \frac n {\max(p,q)}.$ Тогда
$$ M(H^k_p(\mathbb{R}^n) \to H^{-k}_{q'}(\mathbb{R}^n)) = H^{-k}_{\max(p',q'),unif}(\mathbb{R}^n), $$
причем соответствующие нормы эквивалентны.
Накладываемые в условии этой теоремы ограничения являются естественными. Действительно, в случае $p > q'$ непрерывное вложение
$$ H^{\gamma}_{r,unif}(\mathbb{R}^n) \subset M(H^k_p(\mathbb{R}^n) \to H^{-l}_{q'}(\mathbb{R}^n)) $$
не имеет места ни при каких значениях $\gamma \in \mathbb{R}$ $p > 1$. Поэтому задача описания пространства мультипликаторов из $H^k_p(\mathbb{R}^n)$ в $H^{-l}_{q'}(\mathbb{R}^n)$ в терминах равномерно локализованных пространств бесселевых потенциалов имеет смысл лишь при $p \leqslant q'$.
При отказе от условия $k > \frac n {\max(p,q)}$ дать полную характеризацию пространства мультипликаторов $M(H^k_p(\mathbb{R}^n) \to H^{-l}_{q'}(\mathbb{R}^n))$ в шкале пространств $H^{\gamma}_{r,unif}(\mathbb{R}^n)$ невозможно даже в простейшем случае $k = l$, $p = q = 2$. В этом случае в работе [2] при $k < \frac{n}{2}$ были установлены двусторонние непрерывные вложения
$$ H^{-k}_{\frac{n}{k},unif}(\mathbb{R}^n) \subset M(H^k_2(\mathbb{R}^n) \to H^{-k}_2(\mathbb{R}^n)) \subset H^{-k}_{2,unif}(\mathbb{R}^n). $$

В докладе будут рассмотрены обобщения этого результата для пространства
$$ M(H^k_p(\mathbb{R}^n) \to H^{-k}_{q'}(\mathbb{R}^n)) $$
при $k < \frac{n}{\max(p, q)}$.