Минимальное идеальное пространство для конуса обобщенно двояко монотонных функций

Пусть $T_0 \in (0,\infty]$, $M$ – множество вещественнозначных измеримых функций, $M_{+}=\left\{f \in M:f\geq 0\right\}$.
Теорема. Пусть $Y=Y(0,T_0)$ есть идеальное пространство (ИП), порожденное идеальной квазинормой (ИКН) $\rho$, причем $\rho$ согласована со следующим отношением порядка: для $f, g \in M_+(0,T_0)$
$$ \int_0^tfd\tau\leq \int_0^tg\,d\tau \Rightarrow \rho(f)\leq \rho(g). \tag{1} $$

Фиксируем $\beta \in (0,1)$ и введем конус
$$ K_0=\left\{h \in Y: h\geq 0; \ t^{-1}\int_0^th\,d\tau \downarrow,\ t^{-\beta}\int_0^th\,d\tau\uparrow\right\}, \tag{2} $$
снабженный функционалом $\rho$:
$$ \rho_{K_0}(h)=\rho(h),\quad h \in K_0. \tag{3} $$

Для $f \in M_+(0,T_0)$ введем функционал $\rho_0(f)=\rho(A_0f)$, где оператор $A_0\colon M\to M_+$ (норма по $\tau$):
$$ (A_0f)(t)=\left\|\tau^{-\beta}(t+\tau)^{\beta-1}\int_0^{\tau}|f|\,d\xi\right\|_{L_{\infty}(0,T_0)}, \quad t\in (0,T_0). $$

Тогда, $\rho_0$ есть ИКН, согласованная с отношением порядка (1), а порожденное ею пространство
$$ X_0=X_0(0,T_0)=\left\{f \in M(0,T_0):\rho_0(|f|)<\infty\right\} $$
является оптимальным ИП с нормой, согласованной с отношением порядка (1), для вложения $K_0\longmapsto X$.
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 14-11-00443).