Неравенства Винера–Ингама для лакунарных тригонометрических рядов

Тема, рассматриваемая в докладе, впервые появилась в исследованиях Н. Винера (1934) и существенно была развита А. Е. Ингамом (1936) и А. Сельбергом (1974).
Пусть $\mathbb{T}=[-\pi,\pi)$ – период длины $2\pi,$ $L^2=L^2(\mathbb{T})$ – пространство $2\pi$-периодических измеримых комплекснозначных функций с обычной нормой $\|f\|=\|f\|_{L^2}$. Для натурального числа $q\ge2$ обозначим через $D_q$ класс функций из $L^2$ c рядами Фурье вида
$$ f(x)=\sum_{k\in\mathbb Z}\widehat{f}_{\nu_k}e^{i\nu_k x},\quad\text{все}\quad \nu_k\in\mathbb{Z},\quad\nu_{k+1}-\nu_{k}\ge{q}. $$
Зафиксируем $h\in(0,\pi).$ Нас интересует в каких пределах может изменяться отношение
$$ \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx\Bigg/\displaystyle\int_{-h}^{h}|f(x)|^2\,dx $$
для $f\in D_q$? Здесь анонсируются оценки этого отношения в терминах величин
$$ \mathcal{E}^+_{n}(h):=\inf_{\tau\in\mathcal{T}_{n},\,\chi_{{}_h}\le\tau} \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{T}}\left\{\tau(x)-\chi_{{}_h}(x)\right\}\,dx, $$

$$ \mathcal{E}^-_{n}(h):=\inf_{\tau\in\mathcal{T}_{n},\,\tau\le{\chi_{{}_h}}} \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{T}}\left\{\chi_{{}_h}(x)-\tau(x)\right\}\,dx $$
наилучшего интегрального приближения соответственно сверху и снизу характеристической функции $\chi_{{}_h}$ интервала $(-h,h)$ подпространством $\mathcal{T}_{n}$ тригонометрических полиномов порядка не выше ${n};$ неравенство $\chi_{{}_h}\le\tau$ означает, что $\chi_{{}_h}(x)\le\tau(x)$ при всех $x\in\mathbb{T}.$
Теорема. Пусть $q\in\mathbb N$, $q\ge2,$\; ${\pi}/{q}<{h}\le\pi$, $f\in D_q.$ Тогда
$$ \frac{1}{\frac{h}{\pi}+\mathcal{E}^+_{q-1}(h)}\le \frac{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx}{\displaystyle\int_{-h}^{h}|f(x)|^2\,dx} \le\frac{1}{\frac{h}{\pi}-\mathcal{E}^-_{q-1}(h)}. $$

Заметим, что $\mathcal{E}^+_{n}(h)=\mathcal{E}^-_{n}(\pi-h)$ для $n\in\mathbb{N},$ $h\in(0,\pi);$ поэтому достаточно исследовать лишь одну из этих величин. Дж. Д. Ваалер (1985) доказал, что величина $\mathcal{E}^-_{n}(h)$ не превосходит ${1}/{(n+1)}$ при любых $n\in\mathbb{N}$, $h\in(0,\pi].$ Точное значение этой величины было найдено совместно авторами и Ю. В. Крякиным (2012), с помощью этого результата и теоремы получаем
Следствие. Пусть $q\in\{2,3,4,\dots\}$, $h=\frac{\pi+\varepsilon}{q},$ $0<\varepsilon<\pi$, $f\in{D_q}.$ Тогда
$$ \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx\le \Big(q+{\rm ctg}\,\frac{\varepsilon}{2}{\rm ctg}\,\frac{h}{2}\Big) \int_{-h}^{h}|f(x)|^2\,dx. $$

Положим
$$ \alpha_q(h):=\sup_{f\in{D_q},\, \|f\|>0} \frac{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx}{\displaystyle\int_{-h}^{h}|f(x)|^2\,dx}. $$
Справедливы равенства
$$ \lim_{h\to\frac{2\pi}{q}-0}\alpha_q(h)=q,\qquad \lim_{h\to\frac{2\pi}{q+1}-0}\alpha_q(h)=q+1. $$
Из первого равенства следует, что $\alpha_2(h)$ терпит разрыв в точке $h=\pi.$
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-11-00702).