О формуле регуляризованного следа одного дифференциального оператора в частных производных

Рассмотрим возмущенный оператор $H=H^0+V$, где возмущение $V$ таково, что оператор $VR^0(\lambda)$ компактен $\forall\,\lambda\notin \sigma \left(H^0\right)$ и $\|VR^0(\lambda)\|<1$. Тогда оператор $H$ замкнут в области определения $H^0$ и имеет дискретный спектр.
Пусть $d_n=\min (\lambda_{n+1}-\lambda_n, \,\lambda_{n}-\lambda_{n-1} )/2$ и существует последовательность $\rho_n$, такая, что
$$ 0<\rho_n\le d_n, \quad \inf\limits_{n\ge 2}\rho_n>0, \quad \lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{|\lambda-\lambda_n|\le \rho_n}\|R_n^0(\lambda)V\|=0, $$
где $R_n^0(\lambda)=R^0(\lambda)-P_n(\lambda_n-\lambda)^{-1}$.
Тогда, согласно рассуждениям работы [1], спектр оператора $H=H^0+V$ определяется из уравнения
$$ \lambda=\lambda_n+P_nVP_n-P_nVR_n(\lambda)VP_n, \tag{1} $$
где $R_n(\lambda)=\sum^{\infty}_{k=0}(-1)^k \left[R^0_n(\lambda )V\right]^k R_n^0(\lambda) $.
Выражение (1) представляет собой формулу для спектра $\det(A_n-\lambda)=0$ конечномерного оператора $A_n$ в окрестности собственнного числа $\lambda_n$, $|\lambda-\lambda_n|<\rho_n$ при фиксированных $n$. Тогда, используя тот факт, что для конечномерных операторов спектральный след равен матричному, из уравнения (1) легко следует представление
$$ \nu_n\lambda_n+spP_nVP_n -\gamma_{\nu_n}^{(n)}=\sum\limits^{v_n}_{k=1}\mu_k^{(n)}, \tag{2} $$
где $\mu_k^{(n)}$ – собственные числа оператора $H$, $|\lambda_n-\mu_k^{(n)}|<\rho_n$,
$$ \mathrm{sp}\,P_nVP_n=\sum^{\nu_n}_{k=1}\left(V\varphi_k^{(n)},\varphi_k^{(n)}\right),\qquad \gamma_{\nu_n}^{(n)}=\sum_{k=1}^{\nu_n}\left(VR_n(\mu_k^{(n)})V\varphi_k^{(n)},\varphi_k^{(n)}\right). $$
Если возмущение $V$ таково, что последовательность $\sum^{m}_{n=1}\gamma_{\nu_n}^{(n)} \to 0$ при $m\to \infty$, то из формулы (2) непосредственно следует справедливость формулы регуляризованного следа оператора $H$
$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\sum\limits^{n}_{k=1}\mu_k^{(n)}-\nu_n\lambda_n-\sum\limits^{\nu_n}_{k=1} \left(V\varphi_k^{(n)},\varphi_k^{(n)}\right)\right)=0. $$

Для конкретных дифференциальных операторов в частных производных задача усложняется в связи со сложной структурой спектра, необходимостью разложением в ряд по собственным функциям резольвенты невозмущенного оператора. В качестве примера рассматривается оператор $H^0=T\otimes I_1+I_2\otimes L$ в гильбертовом пространстве ${\mathbb H }={\mathbb H}_1\otimes{\mathbb H}_2$, где $\mathbb H_{1}=L^{2}(0,\infty)$, $\mathbb H_{2}=L^{2}[0,\pi]$, $I_{1}$ и $I_{2}$ – единичные операторы в соответствующих пространствах,
\begin{gather*} Tf=-f''+x^2f ,\qquad f(0)=0 ,\quad f\in L^2 [0,\infty), \\ Lg=-g'', \qquad g(0)=g(\pi)=0. \end{gather*}