Приближение оператора дифференцирования линейными ограниченными операторами в пространстве $L_2$ на полуоси

Будет обсуждаться задача Стечкина [1] о наилучшем приближении оператора дифференцирования порядка $k$ на классе $n$ раз дифференцируемых функций ($0\le k < n$) линейными ограниченными операторами в пространствах $L_{p}(I)$, $1\le {p}\le\infty$, на числовой оси $I=(-\infty,\infty)$ и полуоси $I=[0,\infty)$ и родственная задача об оптимальном дифференцировании гладких функций, заданных с известной погрешностью.
На числовой оси для всех $0<k<n$ решение задачи Стечкина известно лишь в классических пространствах $C$, $ L_1$ (С. Б. Стечкин, В. В. Арестов, А. П. Буслаев) и $L_2$ (Ю. Н. Субботин, Л. В. Тайков); см. библиографию в [2]. На полуоси задача Стечкина решена лишь в нескольких случаях для малых $k,\ n$. С. Б. Стечкин [1] нашел ее решение в равномерной норме для $n=2,3$, $1\le k<n.$ В. И. Бердышев [3] решил задачу Стечкина в пространстве $L(0,\infty)$ при $k=1$, $n=2$. В сообщении будет приведено решение задачи Стечкина в пространстве $L_2(0,\infty)$ для $k = 1$, $n = 2$; этот результат получен автором совместно с М. А. Филатовой [4].
Исследования выполнены при поддержке РФФИ (проект 15-01-02705) и Программы государственной поддержки ведущих университетов РФ (соглашение № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013).