О неравенствах в суперрефлексивных пространствах Бесова

Среди банаховых пространств важное место занимают пространства Бесова [1], [2]. В настоящем докладе пространства Бесова рассматриваются с позиций теории суперрефлексивных банаховых пространств [3], [4]. Такой подход позволяет получить неравенства для норм в суперрефлексивных пространствах Бесова. Прежде чем переходить к описанию результатов данного доклада, приведем необходимые определения. Пусть задана пара банаховых пространств $X$ и $Y$. Зафиксируем натуральное $n$ и рассмотрим совокупность всех $n$-мерных нормированных подпространств $X_n \subset X$ и $Y_n \subset Y$. Между пространствами $X_n $ и $Y_n $ всегда можно установить изоморфизм, то есть линейное биективное и взаимно непрерывное соответствие. Мерой близости между $X_n $ и $Y_n $ принято считать дистанцию Банаха–Мазура $d(X_n ,Y_n )=\inf \{\left\| T \right\|\cdot \left\| {T^{-1}} \right\|\}$, где нижняя грань берется по всем изоморфизмам $T$ между $X_n $ и $Y_n $.
Definition ([3], [4]). Пусть $\varepsilon >0$. Нормированное пространство $Y$ называется $\varepsilon $-финитно представимым в нормированном пространстве $X$, если для каждого конечномерного подпространства $Y_n \subset Y$ найдется подпространство той же размерности $X_n \subset X$ такое, что $d(X_n ,Y_n )\leqslant 1+\varepsilon $.
Definition ([3], [4]). Банахово пространство $Y$ называется финитно представимым в банаховом пространстве $X$, если оно $\varepsilon$-финитно представимо при любом $\varepsilon >0$.
Definition ([3], [4]). Банахово пространство $X$ называется суперрефлексивным, если любое банахово пространство $Y$, финитно представимое в $X$, является рефлексивным. Проверить факт финитной представимости банахова пространства $Y$ в банаховом пространстве $X$довольно часто является далеко не простой задачей. Вот почему особое место в теории суперрефлексивных банаховых пространств занимает Теорема Энфло [N280:5]. Банахово пространство $X$ с уперрефлексивно тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих равносильных условий:
а) среди норм, эквивалентных на $X$, существует равномерно выпуклая норма;
б) среди норм, эквивалентных на $X$, существует равномерно гладкая норма.
Напомним определения равномерно выпуклой и равномерно гладкой норм в банаховых пространствах. Пусть $B_X =\{u\in X:\left\| u \right\|_X =1\}$ — единичная сфера в банаховом пространстве $(X,\left\| \cdot \right\|_X )$. Модулем выпуклости этого пространства называют функцию
$$ \delta _X (\varepsilon )=\inf \biggl(1-\frac{\left\| {u-v} \right\|_X }{2}:u, v\in B_X ,\, \left\| {u-v} \right\|_X \geqslant \varepsilon\biggr), $$
где $0<\varepsilon \leqslant 2$. Банахово пространство $X$ называется равномерно выпуклым, если $\delta _X (\varepsilon )>0$ при $0<\varepsilon \leqslant 2$. Модулем гладкости пространства $X$ называется функция
$$ \rho _X (\tau )=\sup \biggl\{\frac{\left\| {u+\tau v} \right\|_X +\left\| {u-\tau v} \right\|_X }{2}-1: u, v\in B_X \biggr\}. $$
Банахово пространство $X$ называется равномерно гладким, если $\lim _{\tau \to 0^+} \frac{\rho _X (\tau )}{\tau }=0$. Пусть $-\infty <s<+\infty $, $1<p<\infty $, $1<q<\infty $.
Definition ([1], [2]). Пространством Бесова $B_{p,\,q}^s (R^n)$ назовем банахово пространство вида
$$ (B_{p,q}^s (R^n),\left\| u \right\|_{p,q,s} ) =\left\{ u\in {S}'(R^n):\left\| u \right\|_{p,q,s} = \left( \sum_{j=0}^\infty {2^{jqs}} \left\| {u\ast \varphi _j } \right\|_{L_p (R^n)}^q \right)^{1/q}<+\infty \right\}, $$
где ${S}'(R)$ — пространство медленно растущих обобщенных функций, а $\left\{ {\varphi _j } \right\}$ — специально выбранная система функций (способ построения таких функций приведен, например, в [2]). Норму $\left\| \cdot \right\|_{p,\,q,\,s} $ в дальнейшем будем называть канонической.
Прежде чем сформулировать основную Теорему доклада, приведем необходимые факты, связанные с неравенством Кларксона–Боаса [6]. Пусть $X$ — банахово пространство. Будем говорить, что на $X$ выполняется неравенство Кларксона–Боаса, если для любых элементов $u,v\in X$ справедливо неравенство
$$ \left( \left\| {u+v} \right\|_X^r +\left\| {u-v} \right\|_X^r \right)^{1/r} \leqslant 2^{1/t'} \left( {\left\| u \right\|_X^t +\left\| v \right\|_X^t } \right)^{1/t}, $$
где $r$, $t$, ${t}'$ — некоторые константы, причем $1<r$, ${t}'<\infty $ и $\tfrac{1}{t}+\tfrac{1}{{t}'}\,=1$. Имеет место
Theorem. Пространства Бесова $(B_{p,q}^s (R^n),\left\| u \right\|_{p,q,s} )$ являются равномерно выпуклыми и равномерно гладкими банаховыми пространствами. В этих пространствах выполняются неравенства Кларксона–Боаса, а для модулей выпуклости $\delta _{p,q,s} (\varepsilon )$ и модулей гладкости $\rho _{p,q,s} (\tau )$ канонической нормы $\left\| \cdot \right\|_{p,q,s} $ имеют место следующие соотношения:
\begin{gather*} \mathrm{а)}\quad \left( {\left\| {u+v} \right\|_{p,q,s}^q +\left\| {u-v} \right\|_{p,q,s}^q }\right)^{1/q} \leqslant 2^{1/q}\left( {\left\| u \right\|_{p,q,s}^{{q}'} +\left\| v \right\|_{p,q,s}^{{q}'} }\right)^{1/q'}, \\ \delta _{p,q,s} (\varepsilon )=1-(1-\left( {\frac{\varepsilon }{2}}\right)^q)^{1/q},\qquad \rho _{p,q,s} (\tau )=(1+\tau ^{{q}'})^{1/q'}-1, \end{gather*}
где $1<p\leqslant 2$, ${p}'\leqslant q$;
\begin{gather*} \mathrm{б)}\quad \left( \left\| {u+v} \right\|_{p,q,s}^{{p}'} +\left\| {u-v} \right\|_{p,q,s}^{{p}'} \right)^{1/p'} \leqslant 2^{1/p'}\left( \left\| u \right\|_{p,q,s}^p +\left\| v \right\|_{p,q,s}^p \right)^{1/p}, \\ \delta _{p,q,s} (\varepsilon )=1-(1-\left( \frac{\varepsilon }{2}\right)^{{p}'})^{1/p'},\qquad \rho _{p,q,s} (\tau )=(1+\tau ^p)^{1/p}-1, \end{gather*}
где $1<p\leqslant 2$, $p\leqslant q\leqslant {p}'$;
\begin{gather*} \mathrm{в)}\quad \left( {\left\| {u+v} \right\|_{p,q,s}^{{q}'}+\left\| {u-v} \right\|_{p,q,s}^{{q}'} }\right)^{1/q'} \leqslant 2^{1/q'}\left( {\left\| u \right\|_{p,q,s}^q +\left\| v \right\|_{p,q,s}^q }\right)^{1/q}, \\ \delta _{p,q,s} (\varepsilon )=1-(1-\left( {\frac{\varepsilon }{2}}\right)^{{q}'})^{1/q'},\qquad \rho _{p,q,s} (\tau )=(1+\tau ^q)^{1/q}-1, \end{gather*}
где $1<p\leqslant 2$, $1<q\leqslant p$;
\begin{gather*} \mathrm{г)}\quad \left( {\left\| {u+v} \right\|_{p,q,s}^q +\left\| {u-v} \right\|_{p,q,s}^q }\right)^{1/q} \leqslant 2^{1/q}\left( {\left\| u \right\|_{p,q,s}^{{q}'} +\left\| v \right\|_{p,q,s}^{{q}'} }\right)^{1/q'}, \\ \delta _{p,q,s} (\varepsilon )=1-(1-\left( {\frac{\varepsilon }{2}} \right)^q)^{1/q},\qquad \rho _{p,q,s} (\tau )=(1+\tau ^{{q}'})^{1/q'}-1, \end{gather*}
где $2\leqslant p<+\infty $, $p\leqslant q<+\infty $;
\begin{gather*} \mathrm{д)}\quad \left( {\left\| {u+v} \right\|_{p,q,s}^p +\left\| {u-v} \right\|_{p,q,s}^p }\right)^{1/p} \leqslant 2^{1/p}\left( {\left\| u \right\|_{p,q,s}^{{p}'} +\left\| v \right\|_{p,q,s}^{{p}'} }\right)^{1/p'}, \\ \delta _{p,q,s} (\varepsilon )=1-(1-\left( {\frac{\varepsilon }{2}} \right)^p)^{1/p},\qquad \rho _{p,q,s} (\tau )=(1+\tau ^{{p}'})^{1/p'}-1, \end{gather*}
где $2\leqslant p<+\infty $, ${p}'\leqslant q\leqslant p$;
\begin{gather*} \mathrm{е)}\quad \left( {\left\| {u+v} \right\|_{p,q,s}^{{q}'} +\left\| {u-v} \right\|_{p,q,s}^{{q}'} }\right)^{1/q'} \leqslant 2^{1/q'}\left( {\left\| u \right\|_{p,q,s}^q +\left\| v \right\|_{p,q,s}^q }\right)^{1/q}, \\ \delta _{p,q,s} (\varepsilon )=1-(1-\left( {\frac{\varepsilon }{2}}\right)^{{q}'})^{1/q'},\qquad \rho _{p,q,s} (\tau )=(1+\tau ^q)^{1/q}-1, \end{gather*}
где $2\leqslant p<+\infty $, $1<q\leqslant {p}'$.
Corollary. Пространство Бесова $B_{p,\,q}^s (R^n)$ является суперрефлексивным банаховым пространством.
Definition ([7]). Константой Неймана–Джордана $n$-го порядка ($n\geqslant 2)$ для банахова пространства $X$ называется величина
$$ C_{NJ}^{(n)} (X)=\sup \left\{ {\sum_{\theta _j =\pm 1} {\frac{\left\| {\sum_{j=1}^n {\theta _j u_j } } \right\|_X^2 } {2^n\sum_{i=1}^n {\left\| {u_i } \right\|_X^2 } };\,\sum_{i=1}^n {\left\| {u_i } \right\|_X^2 \ne 0,\,u_i \in X} } } \right\}. $$

Какой будет константа Неймана–Джордана для суперрефлексивных пространств Бесова, например, при $1<p\leqslant 2$, ${p}'\leqslant q$? (Остальные случаи могут быть рассмотрены аналогично.)
Corollary. При $1<p\leqslant 2$, ${p}'\leqslant q$ имеет место
$$ C_{NJ}^{(n)} (B_{p,q}^s (R^n), \left\| \cdot \right\|_{p,q,s} )=n^{\frac{2}{{q}'}-1}. $$
При каждом $n\geqslant 2$ справедливы неравенства
$$ \sum_{\theta _j =\pm 1} {\left\| {\theta _j u_j } \right\|_{p,q,s}^2 \leqslant 2^n\cdot n} ^{\frac{2}{{q}'}-1}\cdot \sum_{i=1}^n {\left\| {u_i } \right\|_{p,q,s}^2 } , $$
где $\sum_{i=1}^n {\left\| {u_i } \right\|_{p,q,s}^2 \ne 0} $, $u_i \in B_{p,q}^s (R^n)$, $1\leqslant j\leqslant n$.
Пусть $\left| \cdot \right|_{p,q,s} $ — произвольная норма на $B_{p,q}^s (R^n)$, эквивалентная канонической норме $\left\| {\cdot } \right\|_{p,q,s} $. Зафиксируем $1<p\le 2-\Delta$, $p<q$ (остальные случаи могут быть рассмотрены аналогично), где $\Delta$ – сколь угодно малое положительное число.
Corollary. Существует константа $D>0$, зависящая, вообще говоря, от параметров $n$, $p$, $q$, $s$, $\Delta $ и нормы $\left| \cdot \right|_{p,q,s} $, но не зависящая от $u$ и $v$ такая, что выполняется неравенство
$$ \left|,u+v\right|_{p,q,s}^{p+\Delta } +D\left| {u-v} \right|_{p,q,s}^{p+\Delta } \leqslant (1+\Delta )\cdot 2^{p+\Delta -1}\left( {\left| u \right|_{p,q,s}^{p+\Delta } +\left| v \right|_{p,\,q,\,s}^{p+\Delta } } \right). $$