Геометрическое описание областей с максимальными константами Харди

Пусть $\,d \geq 2$ – натуральное число, $p \in [1, \infty)$ и $s\in (1, \infty)$, $\Omega\subset {R}^d$ – область, не совпадающая со всем пространством. Рассмотрим следующее неравенство Харди: для любой функции $f\in C_0^1(\Omega)$
$$ \int_\Omega \frac {|\nabla f(x)|^p}{\delta^{s-p} (x)} \,dx \geq c_p(s, \Omega)\int_\Omega \frac {|f(x)|^p}{\delta^{s} (x)}\, dx. $$
Здесь $\delta (x)$ – расстояние от точки $x$ до границы области, постоянная $c_p(s, \Omega) \in [0, \infty)$ выбрана оптимальной, т.е. определена однозначно как максимальная величина, допустимая в этом вариационном неравенстве.
Хорошо известно, что существуют области, для которых приведенное неравенство не является содержательным, т.е. существуют области для которых $c_p(s, \Omega) = 0$ при $1< s \leq d$. С другой стороны, $c_p(s, \Omega) = (s-1)^p/p^p$ для любой выпуклой области $\Omega \neq {R}^d$ при любых допустимых значениях параметров $d $, $p$ и $s$. Известно также, что $c_p(s, \Omega) \leq (s-1)^p/p^p$ для любой области, граница которой содержит хотя бы одну “регулярную” граничную точку, в этом смысле константы Харди для выпуклых областей являются максимальными из возможных. Рядом авторов были найдены экзотические примеры невыпуклых областей, для которых константы Харди $c_2(2, \Omega)$ также максимальны, т.е. равны $1/4$.
Нами обнаружены и геометрически описаны широкие семейства невыпуклых плоских и пространственных областей, в которых указанное неравенство Харди справедливо с этой максимальной константой $(s-1)^p/p^p$. Эти семейства существенно зависят от размерности области и параметров $p \in [1, \infty)$ и $s\in (1, \infty)$. Отметим, что аналитической основой наших построений являются новые одномерные неравенства типа Харди со специальными весами и новые константы, связанные с этими неравенствами и гипергеометрическими функциями. В докладе будут приведены как опубликованные (см. список литературы), так и новые результаты автора, относящиеся к этой тематике.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 14-01-00351-а).