Слабо локализуемые главные подмодули в модуле целых функций экспоненциального типа и полиномиального роста на вещественной оси

Пусть $[a_1;b_1]\Subset [a_2;b_2]\Subset \dotsb$ – последовательность отрезков, исчерпывающая конечный или бесконечный интервал $(a;b)\subset\mathbb R$. Обозначим через $\mathcal P (a;b)$ индуктивный предел последовательности банаховых пространств $\{ P_k\}$, каждое из которых состоит из всех целых функций $\varphi$ с конечной нормой
$$ \| \varphi\|_k =\sup_{z\in\mathbb C} \frac{|\varphi (z)|}{(1+|z|)^k\exp (b_ky^{+}-a_ky^{-})}\mspace{2mu} ,\qquad y^{\pm}=\max\{ 0,\pm y\},\quad z=x+{\text i} y . $$
Пространство $\mathcal P (a;b)$ – топологический модуль над кольцом многочленов $\mathbb C[z]$).
Для замкнутого подмодуля $\mathcal J\subset\mathcal P (a;b)$ положим $c_{\mathcal J}=\inf_{\psi\in\mathcal J}c_{\psi},$ $d_{\mathcal J}=\sup_{\psi\in\mathcal J}d_{\psi},$ где $\mathrm{i}\,[c_{\psi};d_{\psi}]$ – индикаторная диаграмма функции $\psi$. Множество $[c_{\mathcal J}; d_{\mathcal J}] $ – индикаторный отрезок подмодуля $\mathcal J$. Дивизор $n_{\psi}$ функции $\psi\in\mathcal P (a;b)$:
$$ n_{\psi} (\lambda)=\begin{cases} 0, &\text{если } \psi(\lambda)\neq 0,\\ m,&\text{если }\lambda \text{ -- нуль }\psi\text{ кратности }m. \end{cases} $$
Дивизор подмодуля $\mathcal J\subset \mathcal P (a;b)$ определяется как $n_{\mathcal J}(\lambda)=\min_{\psi\in\mathcal J} n_{\psi}(\lambda)$, $\lambda\in\mathbb C$. Подмодуль $\mathcal J$ слабо локализуем, если он содержит все функции $\psi\in\mathcal P (a;b)$, удовлетворяющие условиям: 1) $n_{\psi}(z)\ge n_{\mathcal J}(z),$ $z\in\mathbb C;$ 2) индикаторная диаграмма функции $\psi$ содержится в множестве $\text{i}[c_{\mathcal J};d_{\mathcal J}].$
Для функции $\varphi\in\mathcal P (a;b)$ обозначим через $\mathcal J_{\varphi}$ главный подмодуль, порожденный этой функцией, т.е. замыкание в $\mathcal P (a;b)$ множеcтва $\{ p\varphi: p\in\mathbb C[z]\},$ $\varphi\in\mathcal P(a;b)$. Обозначение $\mathcal J(\varphi)$ будем использовать для слабо локализуемого подмодуля с дивизором, равным $n_{\varphi}$ и индикаторным отрезком, равным $[c_{\varphi}; d_{\varphi}]$. Легко проверить, что $ \mathcal J_{\varphi}\subset \mathcal J(\varphi). $ Равенство $\mathcal J_{\varphi}= \mathcal J(\varphi)$ эквивалентно слабой локализуемости главного подмодуля $\mathcal J_{\varphi}$ и, как показывает пример, построенный в работе [1], не всегда справедливо.
Здесь мы приводим одно достаточное условие слабой локализуемости главного подмодуля $\mathcal J_{\varphi}$ для случая, когда множество $\mathcal J(\varphi)\setminus \{ p\varphi:p\in\mathbb C[z]\}$ не пусто.
Теорема. Пусть образующая подмодуля имеет вид $\varphi=\Phi/\omega ,$ где $\Phi\in\mathcal P(a;b)$ – функция типа синуса, $\omega$ – целая функция нулевого порядка и сильно регулярного роста (см. [2]) с дивизором $n_{\omega},$ удовлетворяющим условию: для некоторых положительных постоянных $C_0$ и $r_0$ справедливо неравенство
$$n_{\omega }(r)\mathrm{ln}\, r< C_0 \int_{0}^{r}\frac{n_{\omega }(t)\mathrm{d}\, t}{t}, \quad r>r_0 .$$

Тогда подмодуль $\mathcal J_{\varphi}$ слабо локализуем.
Работа выполнена при поддержке гранта № 01201456408 Минобрнауки РФ.