О числе решений полиномиального уравнения $P(x,y)=0$ над полем $\mathbb{F}_p$, принадлежащих подгруппе $G\subset \mathbb{F}_p^*$, и некоторых приложениях

В докладе будет доказано, что число решений $(x,y)$ уравнения $P(x,y)=0$, таких, что $x,y\in G$, не превосходит величины $16mn(m+n)|G|^{2/3}$, где $\deg_x P=m$, $\deg_y P=n$. Кроме этого будет представлена усредненная оценка совокупности решений уравнений $P(x,y)=k_i$, для однородных полиномов $P(x,y)$. С помощью этого будет получена оценка для некоторой новой модификации аддитивной энергии
$$ E_P^q(G)=|\{ (x_1,y_1,\ldots,x_q,y_q) \mid x_i,y_i\in G,\,\, P(x_1,y_1)=\ldots=P(x_q,y_q)\}|. $$
Доклад будет соответствовать работе:
I.Vyugin, S.Makarychev, On the number of solutions of polynomial equation over $\mathbb{F}_p$ // arXiv:1504.01354.