ПБВ и торические вырождения

Рассмотрим неприводимое представление $V$ простой алгебры Ли. Фильтрация Пуанкаре–Биркгофа–Витта на универсальной обёртывающей нильпотентной алгебры понижающих операторов индуцирует ПБВ-фильтрацию на $V$. Присоединённое градуированное (вырожденное) пространство относительно этой фильтрации является циклическим представлением абелевой алгебры Ли. Соответствующее вырожденное многообразие флагов определяется как замыкание орбиты прямой, содержащей старший вектор, в проективизации ПБВ-вырожденного представления (рассматривается орбита абелевой унипотентной группы).
На пространстве $V$ можно также ввести фильтрацию, определяемую в терминах существенных сигнатур, предложенных Э. Б. Винбергом. Эта фильтрация замечательна тем, что присоединённое градуированное пространство оказывается снабжённым мономиальным базисом, который наследуется также и изначальным (классическим) представлением. Аналогично случаю ПБВ-фильтрации, можно определить и многообразия флагов в случае фильтрации Винберга. Отметим, что при подходящем выборе порядка на множестве положительных корней эти две фильтрации согласованы.
В нашем докладе будет приведён обзор имеющихся результатов о структуре градуированных представлений и соответствующих многообразий флагов (в основном для типа $\mathsf А$). В частности, мы обсудим связи с торической геометрией и вырождениями многообразий флагов. Кроме того, мы дадим описание ПБВ-вырожденных представлений и многообразий флагов в терминах модулей Демазюра и многообразий Шуберта. Наконец, мы объясним, как строить базисы Винберга в неприводимых представлениях алгебр типа $\mathsf А$ с помощью обобщённой ПБВ-фильтрации.
Доклад основан на работах докладчика, а также G. Cerulli Irelli, X. Fang, G. Fouier, M. Lanini, P. Littelmann, M. Reineke.