Неравенства для моментов квадратичных форм

В 1992 году Ю. В. Прохоров [3] показал, что для полинома $Q=Q(\xi)$ степени $d$ от гауссовской случайной величины $\xi$ справедливо неравенство
\begin{equation} \mathbb E^{\frac12}|Q|^2\le c(d)\mathbb E|Q|. \end{equation}
(См. также работу [4].) В 2000 году С.Г. Бобков [1] обобщил этот результат, показав, что для любого случайного вектора $\xi\in\mathbb R^n$, имеющего логарифмически вогнутую плотность, для любого $p\ge2$ справедливо неравенство
\begin{equation}\label{1b} \mathbb E^{\frac1p}|Q|^p\le(Cp)^d \mathbb E|Q|. \end{equation}

Пусть $X_1,X_2,\ldots$ последовательность независимых случайных величин с $\mathbb E X_j=0$ и $\mathbb E X_j^2=1$. Символом $\mathbb T$ обозначим множество индексов $\{1,\ldots,n\}$, а $\mathbb T_j=\mathbb T\setminus \{j\}$. Пусть $\mathbf A^{(0)}=(a_{jk}^{(0)})$ - симметричная матрица порядка $n$ ($a_{jk}^{(0)}$ могут быть комплексными). Нас будет интересовать поведение моментов квадратичной формы
$$ Q^{(0)}=\sum_{j=2}^n|\sum_{k\in \mathbb T_j}a_{jk}^{(0)}X_k|^2. $$
Выбор такой квадратичной формы объясняется двумя причинами. Во-первых, $Q^{(0)}$ является положительно определенной квадратичной формой и выпуклой функцией от $X_1,\ldots, X_n$. Во-вторых, квадратичная форма $Q^{(0)}$ возникает при применении неравенства Буркхольдера к квадратичной форме общего вида.
Нас будут интересовать неравенства типа \eqref{1b} при моментных ограничениях на распределения случайных величин $X_1,\ldots,X_n$. Для любого $p\ge1$ мы положим
\begin{equation}\notag \mu_p:=\sup_{k\ge 1}\mathbb E|X_k|^p . \end{equation}
Далее, пусть для любого $j=1,\dots,n$
\begin{align}\label{0} ({\mathcal L_j^{(0)}})^2:=\sum_{k=1}^n|a_{jk}^{(\nu)}|^2,\quad \|\mathbf A^{(0)}\|_2^2:=\sum_{j=1}^n\sum_{k\ne j}|a_{jk}^{(0)}|^2=\sum_{j=1}^n({\mathcal L_j^{(0)}})^2. \end{align}
($\|\mathbf A\|_2$ - норма Гильберта-Шмидта матрицы $\mathbf A$.) Символом $\|\mathbf A\|$ мы будем обозначать операторную норму матрицы $\mathbf A$, т.е.
$$ \|\mathbf A\|=\sup_{x\in\mathbb R^n:\,\|\mathbf x\|=1}\|\mathbf A\mathbf x\|. $$

Пусть для $p\ge2$
$$ L=\begin{cases} L,\quad \text{если}\quad p=2^L \\ [\log_2p]-1,\quad\text{в противном случае}. \end{cases} $$
Здесь $[\cdot]$ означает целую часть числа. Основной результат настоящей заметки представляет следующая теорема.
Теорема. Пусть для некоторого $p\ge2$ выполнено условие $\mu_{2p}<\infty$. Тогда существует абсолютная постоянна $C_0>0$ такая, что для любого $C\ge C_0$
\begin{equation}\notag \mathbb E |Q^{(0)}|^p\le (Cp)^{p}\|\mathbf A_0\|_2^{2p}(1+\Gamma_1^{(p)}+\Gamma_2^{(p)}+\Gamma_3^{(p)}), \end{equation}
где
\begin{align}\notag \Gamma_1^{(p)}&=\sum_{\nu=0}^{L-1}\mu_{\frac {2p}{2^{\nu}}}\sum_{l=1}^n \left(\frac{2\mathcal L^{(0)}_l}{\sqrt{Cp}\|\mathbf A^{(0)}\|_2}\right)^{\frac{2p}{2^{\nu}}}, \notag\\ \Gamma_2^{(p)}&=\sum_{\nu=0}^{L-1}\mu_{\frac {p}{2^{\nu}}}\sum_{l=1}^n \left(\frac{16\mathcal L^{(0)}_l\sqrt p}{{C}\|\mathbf A^{(0)}\|_2}\right)^{\frac{p}{2^{\nu}}}, \notag\\ \Gamma_3^{(p)}&=\sum_{\nu=0}^{L-1}\left(\mu_{\frac {p}{2^{\nu}}}\sum_{l=1}^n \left(\frac{4\mathcal L^{(0)}_l\sqrt p}{{C}\|\mathbf A^{(0)}\|_2}\right)^{\frac{p}{2^{\nu}}}\right)^2.\notag \end{align}

[1] Бобков С. Г. Некоторые обобщения результатов Ю. В. Прохорова о неравенствах типа Хинчина для полиномов. Теория вероятн. и ее примен. 45 (2000), no. 4, 745–748
[2] Bobkov, S. G.; Götze, F. Exponential integrability and Transportation Cost Related to Logarithmic Sobolev Inequalities. Journal of Functional Analysis, 163 (1999), 1– 28.
[3] Прохоров Ю. В. О многочленах от нормально распределенных случайных величин Теория вероятн. и примен., 37:4 (1992), 747–750.
[4] Прохоров Ю. В. , Хохлов В. И. О многочленах от компонент гауссовских случайных векторов Теория вероятн. и примен., 52:4 (2007), 810–814