Экстремальные значения $1/f$-шума

В докладе будет обсуждаться следующий результат. Пусть $0<r<1$, $\{\xi_k\}$ - семейство независимых стандартных гауссовских случайных величин. Рассмотрим регуляризованный $1/f$-шум $F_r(z) = \Re\sum_{1}^{\infty}\frac{\xi_k}{\sqrt{k}}r^k z^k$ на единичной окружности комплексной плоскости. Для среднего значения максимума $M_r = \sup_{|z| = 1} F_r(z)$ этого случайного процесса имеет место асимптотика $E(M_r) = 2 \sigma_r^2 - \frac{3}{4}\log\sigma_r^2 + O(1)$ при $r \to 1$, где $\sigma_r^2 = E(F_r^2) = -\frac{1}{2}\log(1 - r^2)$.