Контрпример Мабийяра-Вагнера-Фрика к топологической гипотезе Тверберга

\smallskip Теорема Радона утверждает: любые $d+2$ точки в $R^d$ можно разбить на два множества, выпуклые оболочки которых пересекаются. Ее и теорему Борсука-Улама обобщает теорема Тверберга: любые $(d+1)(r-1)+1$ точки в $R^d$ можно разбить на $r$ множеств, выпуклые оболочки которых имеют общую точку.
\smallskip Топологическая гипотеза Тверберга. Для любых целых $r,d>0$ и непрерывного отображения $(d+1)(r-1)$-мерного симплекса в $R^d$ существуют $r$ попарно непересекающиеся граней симплекса, образы которых имеют общую точку.
\smallskip Эта гипотеза доказана в случае, когда $r$ — степень простого. В докладе будет рассказано о контрпримере для произвольного $r$, анонсированном в 2015 году. Он основан на следующих результатах.
Отображение $f:K\to R^m$ из комплекса $K$ называется $r$-почти вложением, если $f$-образы любых $r$ попарно непересекающихся симплексов не имеют общей точки.
Отображение $f:K\to R^{rk}$ комплекса $K$ размерности $(r-1)k$ называется $r$-почти $Z$-вложением, если $f$-образы любых $r$ попарно непересекающихся симплексов пересекаются в нулевом числе точек с учетом знака, для некоторых (или, эквивалентно, для любых) ориентаций на этих симплексах.
\smallskip Теорема Озайдина. {\it Пусть $r$ не степень простого. Тогда любой $(r-1)k$-мерный комплекс $r$-почти $Z$-вложим в $R^{rk}$.}
\smallskip Теорема Мабийяра-Вагнера. {\it Если $k\ge3$ и $(r-1)k$-мерный комплекс $r$-почти $Z$-вложим в $R^{rk}$, то он почти $Z$-вложимым в $R^{rk}$.}
\smallskip Доказательство теоремы Мабийяра-Вагнера основано на обобщении трюка Уитни для точек кратности $r$.