Плотность полугруппы в банаховом пространстве и приближение наипростейшими дробями

В докладе обсуждаются условия на множество $M$ в банаховом пространстве $X$, необходимые или достаточные для того, чтобы множество $R(M)$ конечных сумм $x_1+\ldots+x_n$, $x_k\in M$, было всюду плотно в $X$. Выделяются условия, при которых замыкание $\overline{R(M)}$ является аддитивной подгруппой в $X$, и условия, при которых эта аддитивная подгруппа плотна в $X$.
В частности, автором доказано, что если M — спрямляемая кривая в гильбертовом пространстве X, не лежащая целиком ни в каком замкнутом полупространстве $\{x\in X\;;\;f(x)\geqslant0\}$ $(f\in X^*)$ и минимальная в том смысле, что всякая ее собственная поддуга лежит в некотором открытом полупространстве $\{x\in X\;;\;f(x)>0\}$, то $\overline{R(M)}=X$.
Эти результаты применяются к аппроксимациям наипростейшими дробями (логарифмическими производными многочленов) в различных функциональных пространствах. В частности, будет обсуждаться следующий новый результат: если не разбивающий комплексную плоскость компакт $K$ лежит в объединении $\widehat E\setminus E$ ограниченных компонент дополнения к другому компакту $E$, то наипростейшие дроби с полюсами из $E$ плотны в пространстве $AC(K)$ функций, непрерывных на компакте K и аналитических в его внутренних точках.