О задаче А. Балога

Задача о суммах произведений — доказать, что либо сумма, либо произведение произвольного подмножества A из R близко к максимальному, то есть к $|A|^{2-\epsilon}$, $\epsilon > 0$ — любое число — является важным аддитивно-комбинаторным вопросом. Недавно А. Балог сформулировал такую форму гипотезы о суммах произведений : для любого подмножества действительных чисел A выполнено $|AA+A| \gg |A|^{2-\epsilon}.$ Стандартные методы комбинаторной геометрии дают здесь оценку $|AA+A| \gg |A|^{3/2}.$ В прошлом году Б. Мэрфи – О. Роше-Ньютон и докладчик продвинулись в "двойственной" задаче (то есть в которой сумма заменена на произведение и, наоборот), а именно, они доказали, что $|A(A+A)| \gg |A|^{3/2+с}, с>0$ — абсолютная константа. В докладе мы расскажем об аналогичном продвижении в оригинальном вопросе Балога.