Пространство модулей аффинных сферических многообразий с фиксированной полугруппой старших весов (по совместной работе со Ст. Кюпит-Футу)

Пусть $G$ — связная редуктивная группа. В знаменитой работе 2005 года Алексеев и Брион построили (помимо прочего) так называемое пространство модулей аффинных сферических $G$-многообразий с наперёд заданной полугруппой старших весов $\Gamma$. Это пространство, обозначаемое $\mathrm M_\Gamma$, представляет собой аффинную схему конечного типа над основным полем, снабжённую регулярным действием присоединённого тора $T_{\mathrm{ad}}$ таким образом, что орбиты находятся во взаимно однозначном соответствии с (рассматриваемыми с точностью до $G$-эквивариантного изоморфизма) аффинными сферическими $G$-многообразиями с полугруппой старших весов $\Gamma$. Кроме того, $\mathrm M_\Gamma$ содержит единственную $T_{\mathrm{ad}}$-неподвижную замкнутую точку $X_0$, соответствующую так называемому $S$-многообразию с полугруппой старших весов $\Gamma$.
В докладе речь пойдёт о вычислении структуры $T_{\mathrm{ad}}$-модуля в касательном пространстве $T_{X_0} \mathrm M_\Gamma$ к $\mathrm M_\Gamma$ в точке $X_0$. Основным результатом является полное описание этой структуры в терминах исходной полугруппы $\Gamma$. В частности, пространство $T_{X_0}\mathrm M_\Gamma$ всегда является $T_{\mathrm{ad}}$-модулем с простым спектром, а его веса (с точностью до знака) принадлежат некоторому фиксированному конечному множеству, зависящему только от $G$ (элементы этого множества называются сферическими корнями группы $G$).
С помощью результата о структуре $T_{\mathrm{ad}}$-модуля в $T_{X_0} \mathrm M_\Gamma$ будет доказано, что так называемая корневая полугруппа аффинного сферического $G$-многообразия свободна. Кроме того, будут получены новые доказательства некоторых известных результатов о сферических $G$-многообразиях, в числе которых теоремы единственности для аффинных сферических $G$-многообразий и сферических однородных пространств, впервые доказанные И. В. Лосевым в 2009 году. Примечательно, что доказательства указанных выше результатов легко сводятся к проверке определённых свойств сферических корней, осуществляемой несложным перебором.