О локальной задаче Пуанкаре

В 1907 году Пуанкаре сформулировал так называемую «локальную задачу» в многомерном комплексном анализе, заключающуюся в нахождении всех голоморфных отображений между ростками вещественно-аналитических гиперповерхностей в двумерном комплексном пространстве. Это задача имеет важные приложения в многомерном комплексном анализе, т.к. изучение пространств отображений между областями в многомерном комплексном пространстве сводится к изучению ростков отображений между их границами. Эта задача естественным образом распадается на задачу о голоморфной эквивалентности двух заданных ростков, и задачу об описании голоморфных симметрий фиксированного ростка. Пуанкаре сделал существенный прогресс в изучении локальной задачи, показав, в случае Леви невырожденных ростков, что два ростка общего положения не эквивалентны, и доказав, что размерность группы симметрий ростка не превосходит 8. Более детальные результаты в Леви невырожденном случае были получены в дальнейших работах Картана, Танаки, Черна и Мозера, и Белошапки. Однако для ростков с Леви вырождениями вопрос Пуанкаре о возможных группах автоморфизмов остался открытым. В случае конечного типа (то есть когда вещественная гиперповерхность не содержит ростков комплексных кривых) задача была решена независимо Белошапкой, Ежовым и Коларом. Было показано, что размерность группы не превосходит 4 в этом случае. Тем не менее, техника Белошапки-Ежова-Колара (метод модельной поверхности) не может быть распостранена на наиболее деликатный случай бесконечного типа (а именно, когда вещественная поверхность содержит росток комплексной кривой), и вопрос о возможных структурах групп долгое время был открытым в этом случае. В нашей совместной работе с Шафиковым, мы разработали подход к решению этой задачи на основе связей между вещественным гиперповерхностями и комплексными дифференциальными уравнениями второго порядка. Случаю бесконечного типа соответствуют уравнения с изолированной особенностью. На основе изучения симметрий подходящего класса сингулярных дифференциальных уравнений, нам удалось классифицировать возможные группы автоморфизмов вещественных гиперповерхностей. Оказывается, что имеет место следующая лакуна для размерности: $\infty, 8, 5, 4, 3, 2, 1, 0$ (эта лакуна составляет содержание так называемой Гипотезы Белошапки). Также нами полностью классифицированы случаи размерности 4 и выше.