О минимальном расстоянии от полюсов наипростейшей дроби до компакта, на котором она ограничена

Пусть $d(K,R_n)$ — обычное (евклидово) расстояние между множеством $\{a_k\}$ полюсов наипростейшей дроби $R_n(z)=1/(z-a_1)+1/(z-a_2)+...+1/(z-a_n)$ и заданным замкнутым множеством $K$ комплексной плоскости, $d_n(K,M)$ — infimum величин $d(K,R_n)$ по всем наипростейшим дробям указанного вида, равномерная норма которых на $K$ ограничена сверху положительной константой $M$. Представляет интерес задача об оценке величин $d_n(K,M)$. В частном случае, когда $K$ — прямая, эту задачу поставил Е. А. Горин в 1962 году. В докладе будет доказано, что для любого компакта $K$, для которого существует такая величина $d(K)>0$, что любые две его точки можно соединить кривой из $K$ длины не более $d(K)$, при каждом фиксированном $M>0$ имеет место асимптотическое неравенство
$$d_n(K,M)\ge 4c(K)\frac{\log^2 n}{n^2}(1+o(1)),\quad n\to \infty,$$
обращающееся в равенство в случае, если $K$ — какой-либо отрезок. Здесь $c(K)$ — гармоническая (логарифмическая) ёмкость компакта $K$.