Аннотация:
Постоянная Каталана $G=0.915965594177\ldots$ - одна из классических математических постоянных, может быть определена каждой из сумм
$$
G=\sum\limits_{k\,=\,0}^{+\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^{2}}\,=\,\frac{1}{2}\sum\limits_{k\,=\,0}^{+\infty}
\frac{4^{k}}{(2k+1)^{2}}\binom{2k}{k}^{-1}.
$$
Предположительно она иррациональна, но это до сих пор не доказано. Практически все подходы для доказательства иррациональности чисел основаны на конструкциях достаточно хороших рациональных приближений к этим числам. В последние годы в работах В.В. Зудилина, Т. Ривоаля и К. Краттенталера были предложены некоторые методы построения рациональных чисел, приближающих постоянную Каталана.
Известно, что для каждого действительного числа $\alpha$ неравенство
$$
\left|\alpha- \frac{p}{q}\right| \leqslant \frac{1}{q}
$$
имеет бесконечно много решений в рациональных числах $p/q$. Для доказательства иррациональности $\alpha$ достаточно доказать сформулированное выше утверждение c величиной $\varepsilon q^{-1}$ в правой части при любом $\varepsilon>0$. Случаи, когда это удаётся сделать, крайне редки. Например, для постоянной Каталана это сделать не удаётся. Мы расскажем в докладе об одной эффективной конструкции диофантовых приближений к $G$, основанной на представлении гипергеометрической функции $_{3}F_{2}$ со специально подобранными параметрами в виде ряда и в виде двойного интеграла типа Эйлера по единичному кубу. Непосредственная работа с функцией $_{3}F_{2}$ позволяет существенно упростить доказательства имеющихся в этой области результатов и существенно расширить возможности метода. В частности, таким способом эффективно строится бесконечная последовательность рациональных чисел, удовлетворяющих неравенству
$$
\left|\alpha- \frac{p}{q}\right| \leqslant q^{-\,1/2}.
$$
Конечно, эта последовательность рациональных приближений недостаточна для доказательства иррациональности $G$, но результаты такого типа позволяют сравнивать между собой качество различных конструкций. Некоторое усовершенствование доказывает и более точный результат с оценкой $q^{-11/20}$ в правой части. К сожалению, в доказательстве последнего утверждения присутствует одно свойство конструкции, проверенное на компьютере для достаточно большого множества возможных параметров, но не доказанное нами.
Обратная связь: