Интегрируемые биллиарды, геодезические потоки на кусочно-гладких римановых многообразиях и теорема Понселе

Пусть $(Q,g)$ — гладкое риманово $n$-мерное многообразие с гладким краем $\partial Q=\Gamma$. Геодезический поток на нем — это гамильтонова система на $2n$-мерном многообразии $M=T^*Q$, снабженном стандартной симплектической 2-формой, с краем $\partial M=T_\Gamma^*Q$. Он описывает свободное движение частицы по $Q$. Пусть также задан произвольный диффеоморфизм $\hat\rho:\Gamma\to\Gamma$ края. (Например, тождественный диффеоморфизм — в случае биллиарда, или не имеющий неподвижных точек и совпадающий со своим обратным — в случае геодезического потока на кусочно-гладком римановом многообразии.)
Рассмотрим “склеенное” $n$-мерное конфигурационное пространство, полученное из многообразия $Q$ склеиванием его края по диффеоморфизму $\hat\rho$. Для получения “склеенного” $2n$-мерного фазового пространства нужно задать правило склеивания импульсов (закон преломления) на крае многообразия $M=T^*Q$, т.е. задать диффеоморфизм $\rho:\Gamma^+\to\Gamma^-$, являющийся поднятием диффеоморфизма $\hat\rho$ и сохраняющий функцию Гамильтона $H$. Здесь $\Gamma^+$ и $\Gamma^-$ — это открытые подмножества гиперповерхности $\partial M$ в $M$, состоящие из всех точек, в которых эта гиперповерхность трансверсальна траекториям геодезического потока, причем траектории выходят из $M$ через $\Gamma^+$ и входят в $M$ через $\Gamma^-$.
Рассмотрим “склеенное” фазовое пространство — это $2n$-мерное многообразие $M_\rho$, полученное из многообразия $M'=(M\setminus\partial M)\cup\Gamma^+\cup\Gamma^-$ склеиванием его края по диффеоморфизму $\rho$ (закону преломления). На $M_\rho$ определен “склеенный” геодезический поток, являющийся (кусочно-гладкой) динамической системой.
В докладе изучаются следующие вопросы, вызванные попыткой доказать утверждения, аналогичные теореме Понселе (1813) о замыкании:
а) Для каких законов преломления $\rho$ существуют гладкая и симплектическая структуры и гладкая функция $H_\rho$ на склеенном фазовом пространстве $M_\rho$, такие, что проекция $M'\to M_\rho$ является гладким симплектическим отображением, переводящим функцию Гамильтона $H$ в функцию $H_\rho$?
б) Для каких законов преломления $\rho$ из существования набора первых интегралов (однородных по импульсам) в инволюции следует, что “склеенные” фазовые потоки, отвечающие этим первым интегралам, коммутируют?
в) Для каких законов преломления $\rho$ отображение последования секущей поверхности в себя является симплектическим?
г) Для каких законов преломления $\rho$ из существования набора первых интегралов (однородных по импульсам) в инволюции следует, что отображение последования секущей поверхности в себя сохраняет гамильтоновы векторные поля, отвечающие ограничениям этих первых интегралов на секущую поверхность?
Будут даны обзор известных результатов и полное решение вопросов а)–г). Например, согласно Лазуткину (1993) стандартный (гюйгенсов) закон преломления обладает свойством а), а потому и всеми свойствами а)–г).