Волчок над алгеброй с квадратичными соотношениями и модель для реализации кубитов в планарной наноловушке Пеннинга

В поисках моделей реализации квантового компьютера, оперирующего кубитами, физиками активно рассматривается ловушка, которая удерживает одиночный электрон с помощью однородного магнитного поля и потенциала, созданного плоскими кольцевыми электродами. Вблизи седловой точки экстремума потенциала эта система представляет собой гиперболический осциллятор с сигнатурой $(+,-,+)$. Обычно используется режим, в котором доминирует нормальная частота, определяемая величиной магнитного поля, а две другие частоты очень малы (вырожденный параболический режим), причем сама ловушка имеет макромасштабы. За эксперименты по удержанию электрона на протяжении нескольких месяцев в подобной ловушке была присуждена Нобелевская премия 1989 г. Но, к сожалению, в силу макроразмеров, квантовый спектр такого “искусственного атома” слишком плотный (малы спектральные щели), т.е. в нем нет возможности наблюдать отдельные кубиты. А уменьшение размеров, при сохранении параболического режима, приводит к проблемам со стабильностью из-за возмущений, вносимых отрицательной модой.
В наших недавних работах был исследован режим низшего гиперболического резонанса 2 : (- 1) : 2 у осциллятора ловушки и было предложено использовать новое для данного типа систем явление вторичного резонанса, возникающее при специальном подборе угла отклонения магнитного поля от оси ловушки. Здесь в наномасштабной реализации обеспечивается высокая стабильность и, одновременно, имеются достаточно большие для наблюдения кубитов спектральные щели.
Устойчивость такой дважды резонансной ловушки достигается за счет ангармонических, третей и четвертой степени однородности, слагаемых в разложении электрического потенциала вблизи его точки экстремума. Они порождают гамильтониан типа волчка Эйлера над нелинейной версией алгебры Ли $\su(1,1)$. Скобки Пуассона или коммутаторы между образующими этой алгебры являются квадратичными функциями от образующих, а элемент Казимира — кубической функцией от образующих. Мы находим и исследуем на устойчивость точки покоя такого “нелиевского” волчка. Эти точки соответствуют замкнутым трубкам траекторий в исходном шестимерном фазовом пространстве электрона. Данные трубки являются геометрическими носителями (в квазиклассическом приближении) для базиса собственных состояний, используемого при реализации кубитов. Базис строится с помощью неприводимых представлений и “сжатых” когерентных состояний упомянутой нелиевской алгебры с квадратичными коммутационными соотношениями.