Эргодическая теория, пространства Тейхмюллера и глобальная теорема Торелли

Пространство Тейхмюллера комплексных структур есть фактор (бесконечномерного) многообразия всех тензоров комплексной структуры по группе изотопий. На нем действует группа Тейхмюллера (группа классов отображений), она же факторгруппа диффеоморфизмов по изотопиям. В некоторых случаях (для гиперкэлеровых многообразий, комплексных торов и комплексных кривых) пространство Тейхмюллера можно описать явно, вместе с действием группы Тейхмюллера на нем. Для кривой, действие группы Тейхмюллера на пространстве Тейхмюллера собственное, с конечными стабилизаторами; для тора размерности $>2$ и гиперкэлеровых многообразий, это действие эргодично, и, в частности, почти все его орбиты плотны. Более того, в этой ситуации пространство Тейхмюллера (точнее, его хаусдорфов фактор) является однородным, а группа Тейхмюллера действует на нем как арифметическая решетка. Поэтому динамические характеристики этого действия детально описываются теорией Ратнер, что позволяет точно предсказать, какие из орбит группы Тейхмюллера плотны в пространстве Тейхмюллера. Эргодичность действия Тейхмюллера имеет много применений в комплексной и симплектической геометрии, в частности, позволяет решить несколько вопросов, поставленных Кобаяши еще в 1970-е, и с тех пор активно изучавшихся специалистами по гиперболичности.