Полная классификация вполне и устойчиво бертрановских пар

«Задача Бертрана» возникла в конце XIX века как частный случай обратной задачи динамики. Она заключалась в поиске закона притяжения, обеспечивающего замкнутость всех орбит движения точки на плоскости в потенциальном поле. Задача была решена самим Ж.Бертраном, но, разумеется, возник интерес к обобщениям этой задачи — рассмотрению не только плоскости, но и других многообразий вращения в качестве конфигурационного многообразия задачи, а так же наложению различных требований на потенциальный закон притяжения. Различные более или менее частные решения обобщений задачи Бертрана были многократно различными учеными, среди которых был Дарбу, Кенигс, В.В.Козлов, Сантопрете и другие. В 2011 году в соместной работе О.А. Загрядского, Е.А. Кудрявцевой и докладчика удалось исчерпывающе решить обобщенную задачу Бертрана на многообразиях вращения без экваторов для пяти различных типов потенциалов (замыкающих, локально-замыкающих и других).
Однако, задача на многообразиях с экваторами оставалась совершенно нерешенной. Доклад будет посвящен недавним результатам, полученным совместно с Е.А. Кудрявцевой: полной классификации бертрановских пар «многообразие – потенциал» для вполне замыкающих и устойчиво замыкающих потенциалов (без условия отсутствия экваторов у многообразия).