Квантовые $R$-матрицы в классических интегрируемых системах

Доклад состоит из трех наблюдений. Первое – использование квантовой $R$-матрицы для описания релятивистской деформации классических интегрируемых волчков, тесно связанных с классическими моделями Калоджеро и Русенаарса. Постоянная Планка из $R$-матрицы играет роль обратной скорости света. Эта связь позволяет не только описывать релятивистские волчки для известных $R$-матриц, но и наоборот. Таким способом вычисляется нетривиальная деформация квантовой рациональной $R$-матрицы Янга. Второе наблюдение состоит в том, что $R$-матрицы из обсуждаемого класса удовлетворяют квадратичным соотношениям – некоммутативным аналогам тождеств Фэя. Тем самым они представляют собой матричные обобщения хорошо известных скалярных (эллиптических) функций. Это позволяет строить многомерные представления Лакса для классических интегрируемых систем и уравнений Пенлеве. Квантовая версия линейной задачи имеет вид обобщения уравнений Книжника–Замолодчикова, в котором добавляется спектральный параметр. Его роль выполняет постоянная Планка квантовой $R$-матрицы. Третье наблюдение – квантово-классическая дуальность между классическими интегрируемыми системами и обобщенными квантовыми цепочками. Она устанавливает явную связь между спектром трансфер-матрицы квантовой цепочки и пересечением лагранжевых подмногообразий в фазовом пространстве классической интегрируемой системы.