Рациональность расширений полей инвариантов

Пусть $G$ – связная алгебраическая группа, линейно действующая на конечномерном векторном пространстве $V$. Пусть $K$ – поле рациональных функций на $V$, а $L$ – подполе $G$-инвариантных функций в $K$.
Доклад посвящен обсуждению следующей проблемы: Рационально ли $K$ над $L$ (т.е. является ли расширение $K/L$ чисто трансцендентным)? Впервые она возникла в связи с построением контрпримеров к гипотезе Гельфанда–Кириллова. Я расскажу о результатах, полученных в готовящейся к печати совместной работе с Ж.-Л. Колье-Теленом, Б. Кунявским и З. Рейхштейном (J.-L. Colliot-Th'el`ene, B. Kunyavskii, Z. Reichstein).